Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

54 55
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рассмотрим каждый из трёх случаев отдельно.
1.
qp 4
2
>
. Тогда
21
kk
≠
и у уравнения (3.20) есть два решения:
xk
y
1
e
1
=
и
xk
y
2
e
2
=
.
Они линейно независимы, так как
conste
)(
2
1
21
≠=
− xkk
y
y
.
Следовательно, в этом случае общее решение уравнения (3.20)
имеет вид
xkxk
CCxy
21
ee)(
21
+=
.
2.
qp 4
2
=
. Тогда
2
21
p
kk −==
, и говорят, что уравнение (3.23) име-
ет один двукратный корень. В этом случае мы получаем с помощью нашего
предшествующего рассуждения лишь одно решение уравнения (3.20):
x
p
y
2
1
e
−
=
.
Покаж ем , что в этом случае функция
x
p
xy
2
2
e
−
=
также является решением (3.20). Действительно,
x
p
x
p
xy
2
2
e)
1()(
−
−=
′
,
x
p
x
p
pxy
2
2
2
e)
4
()(
−
+−=
′′
.
Тогда
+−++−=+
′
+
′′
−
qxx
p
px
p
pqypy
x
p
24
e
22
2
22
.
Поскольку в данном случае
4
2
p
q =
, легко установить, что выраже-
ние, стоящее в скобках, обращается в ноль и, следовательно,
)(
2
xy
удов-
летворяет уравнению (3.20).
Решения
)(
1
xy
и
)(
2
xy
линейно независимы. Общее решение (3.20)
имеет вид
x
p
xCCxy
2
21
e)()(
−
+=
.
3.
qp 4
2
<
. В этом случае уравнение (3.23) не имеет корней в облас-
ти вещественных чисел.
Введём в рассмотрение числа
2
p
−=α
,
0
2
4
2
≠
−
=β
pq
(3.25)
и покажем, что функции
xxy
x
β=
α
sine)(
1
,
xxy
x
β=
α
cose)(
2
являются решениями (3.20). Рассмотрим
)(
1
xy
и вычислим её производ-
ные
xxxy
xx
ββ+βα=
′
αα
cosesine)(
1
,
xxxy
xx
βαβ+ββ−α=
′′
αα
cose2sine)()(
22
1
.
Тогда
=β+ββ+βα+βαβ+ββ−α=
=+
′
+
′′
α
}sincossincos2sin){(e
22
11
xqxpxpxx
qypy
x
}cos)2(sin){(e
22
xpxqp
x
ββ+αβ+β+α+β−α=
α
.
Рассмотрим коэффициенты, стоящие в фигурных скобках при
xβsin
и при
xβcos
, и вычислим их с учетом (3.25):
0
244
222
22
=+−+−=+α+β−α q
pp
q
p
qp
,
0)2(2 =+αβ=β+αβ pp
.
Таким образом, выражение, стоящее в фигурных скобках, обращается в
ноль и, следовательно,
)(
1
xy
является решением (3.20). Точно так же можно
показать, что
)(
2
xy
является решением (3.20). Решения
)(
1
xy
и
)(
2
xy
линей-
но независимы. Общее решение (3.20) в этом случае имеет вид
xCxCxy
xx
β+β=
αα
cosesine)(
21
.
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы