Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

60 61
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
).0)(()()()( ≡
/
=+
′
+
′′
xfxfyxqyxpy
(4.1)
4.1. Структура общего решения линейного неоднородного
уравнения
Пусть
)(
~
xy
– какое-либо частное решение уравнения (4.1), т. е. спра-
ведливо тождество
)(
~
)(
~
)(
~
xfyxqyxpy ≡+
′
+
′′
. (4.2)
Теорема 5. Общее решение линейного неоднородного уравнения
(4.1) имеет вид
)(
~
)()(
0
xyxyxy
+=
, (4.3)
где
)(
0
xy
– общее решение соответствующего однородного уравнения
0)()( =+
′
+
′′
yxqyxpy
(4.4)
а
)(
~
xy
– частное решение неоднородного уравнения (4.1).
Доказательство. Учитывая вид общего решения однородного урав-
нения (4.4), нам нужно показать, что общее решение уравнения (4.1) име-
ет вид
)(
~
)()()(
2211
xyxyCxyCxy
++=
, (4.5)
где
)(
1
xy
,
)(
xy
– линейно независимые частные решения однородногоо
уравнения (4.4);
21
и CC
– произвольные постоянные, а
)(
~
xy
– частноее
решение уравнения (4.1). Так же, как доказательство теоремы 4
об общем решении однородного уравнения (4.4), доказательство данной
теоремы разделим на две части.
Оно имеет один двукратный корень:
3
21
−==
kk
(случай 2). Общее ре-
шение (3.35) имеет вид
xx
xCCxy
3
2
3
1
ee)(
−−
+=
.
Подставим в него значения
yyx
′
и,
из начальных условий (3.36).
Для этого найдем производную общего решения
xxx
xCCCxy
3
2
3
2
3
1
e3ee3)(
−−−
−+−=
′
.
Далее:
1
1)0( Cy
==
,
21
35)0( CCy
+−=−=
′
,
откуда
1
1
=
C
,
2
2
−=
C
. Решение задачи Коши (3.35)–(3.36) имеет вид
xx
xxy
33
e2e)(
−−
−=
.

Страницы