Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

64 65
Обыкновенные дифференциальные уравнения
=
′′
+
′′
=
′
+
′
).()()()()(
;0)()()()(
21
21
xfxyxBxyxA
xyxBxyxA
(4.16)
Заметим, что определитель этой линейной относительно
)(xA
′
и
)(xB
′
системы является вронскианом решений
)(
1
xy
и
)(
2
xy
уравне-
ния (4.4)
)()(
)()(
21
21
xyxy
xyxy
′′
.
Поскольку решения
)(
1
xy
и
)(
2
xy
линейно независимы, он всегдада
отличен от нуля. Система (4.16) имеет единственное решение, выражаю-
щее
)(xA
′
и
)(xB
′
через з
)(
1
xy
,
)(
2
xy
и их производные. Оно может быть
найдено по формулам Крамера.
Зная
)(xA
′
и
)(xB
′
, определим их первообразные:
∫
′
= dxxAxA )()(
и
∫
′
= dxxBxB )()(
.
Частное решение (4.1) может быть записано в виде
( ) ( )
)()()()()(
~
21
xydxxBxydxxAxy
∫∫
′
+
′
=
. (4.17)
Тогда общее решение (4.1) имеет вид
( ) ( )
)()()()()(
2211
xyCdxxBxyCdxxAxy
∫∫
+
′
++
′
=
. (4.18)
Пример 4.1. Найти общее решение уравнения
yy
1
=+
′′
. (4.19)
Решение. Рассмотрим соответствующее уравнению (4.19) однород-
ное уравнение
0=+
′′
yy
. (4.20)
Будем искать частное решение (4.1) в виде (4.11), заменив постоян-
ные
21
и CC
неизвестными пока функциями
B(x)xA и)(
.
Тогда
)()()()()(
~
21
xyxBxyxAxy +=
, (4.12)
где функции
B(x)xA и)(
подлежат дальнейшему определению. Их следу-
ет выбрать так, чтобы решение
)(
~
xy
удовлетворяло уравнению (4.1). Про-
дифференцируем функцию (4.12). Получим
)()()()()()()()()(
~
2121
xyxBxyxAxyxBxyxAxy
′
+
′
+
′
+
′
=
′
.
Потребуем, чтобы выполнялось условие
0)()()()(
21
=
′
+
′
xyxBxyxA
. (4.13)
Найдем теперь вторую производную от функции (4.12), учитывая
дополнительные условия (4.13). Получим
)()()()()()()()()(
~
2121
xyxBxyxAxyxBxyxAxy
′′
+
′′
+
′′
+
′′
=
′′
.
Подставим
)(
~
),(
~
),(
~
xyxyxy
′′′
в левую час ть урав нен ия (4.1). Получим
[ ]
[ ]
).()()()()()()()(
)()()()()()(
)()()()()()(
)(
~
)()(
~
)()(
~
2121
222
111
xyxBxyxAxyxBxyxA
xyxqxyxpxyxB
xyxqxyxpxyxA
xyxqxyxpxy
′′
+
′′
=
′′
+
′′
+
++
′
+
′′
+
++
′
+
′′
=
=+
′
+
′′
(4.14)
Действительно, поскольку
)(
1
xy
и
)(
2
xy
есть частные решения од-д-
нородного уравнения (4.4), выражения, стоящие в квадратных скобках в
цепочке равенств (4.14), обращаются в ноль.
Требуется теперь, чтобы выполнялось равенство
).()()()()(
21
xfxyxBxyxA =
′′
+
′′
(4.15)
Тогда
)(
~
xy
будет решением уравнения (4.1).
Итак, получена система уравнений для определения
)(xA
′
и
)(xB
′
.
Ее составляют уравнения (4.13) и (4.15). Она имеет вид
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы