Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

66 67
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Его характеристическое уравнение
023
2
=++
kk
имеет два действительных корня:
1;2
21
−=−=
kk
. Следовательно,
(4.24) имеет два линейно независимых частных решения
xx
yy
−−
== eиe
2
2
1
,
а его общее решение запишется следующим образом:
xx
CCxy
−−
+= ee)(
2
2
10
.
Частное решение уравнения (4.23) ищем в виде
xx
xBxAxy
−−
+= e)(e)()(
~
2
.
Для нахождения функций
)(xA
′
и
)(xB
′
составляем систему уравнений
+
=
′
−
′
−
=
′
+
′
−−
−−
.
1e
1
e)(e)(2
;0e)(e)(
2
2
2
x
xx
xx
xBxA
xBxA
(4.25)
Ищем определитель системы (4.25):
.ee2e
ee2
ee
)(
333
2
2
xxx
xx
xx
xW
−−−
−−
−−
=+−=
−−
=
Тогда
1e
e
e
1e
1
e0
e)(
2
2
2
3
+
−=
−
+
=
′
−
−
x
x
x
x
x
x
xA
;
1e
e
1
e2
0e
e)(
2
2
2
2
3
+
=
+
−
=
′
−
−
x
x
x
x
x
x
xB
.
Можно решить систему (4.25) и по-другому. Сложим оба уравнения
системы (4.25) и получим
1e
1
e)(
2
2
+
=
′
−
−
x
x
xA
Его общее решение имеет вид
xCxCxy cossin)(
210
+=
. (4.21)
Здесь
xxy sin)(
1
=
и
xxy cos)(
2
=
являются его линейно независимыми
частными решениями.
Частное решение уравнения (4.19) ищем в виде
xxBxxAxy cos)(sin)()(
~
+=
.
Для отыскания функций
)(xA
′
и
)(xB
′
составим систему (4.16):
=
′
−
′
=
′
+
′
.
sin
1
sin)(cos)(
;0cos)(sin)(
x
xxBxxA
xxBxxA
(4.22)
Определитель этой системы имеет вид
.1cossin
sincos
cossin
)(
22
−=−−=
−
= xx
xx
xx
xW
Тогда
x
x
x
x
xA ctg
sin
sin
1
cos0
)( =
−
−=
′
;
1
sin
1
cos
0sin
)( −=−=
′
x
x
x
xB
.
Далее:
xxBxxdxxA −===
)( ,sinlnctg)(
,
и общее решение уравнения (4.19) имеет вид
.cos)(sin)sin(ln)(
21
xxCxCxxy −++=
Пример 4.2. Найти общее решение уравнения
.
1e
1
23
2
+
=+
′
+
′′
x
yyy
(4.23)
Решение. Соответствующее (4.23) однородное уравнение имеет вид
.023 =+
′
+
′′
yyy
(4.24)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы