Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

70 71
Обыкновенные дифференциальные уравнения
где
)0()(
01
1
10
≠++++=
−
−
bbxbxbxbxQ
nn
nn
n
– многочлен той жее
степени n, что и многочлен
)(xP
n
, с коэффициентами
nn
bbbb ,,,,
110 −
,
подлежащими дальнейшему определению.
Коэффициенты
),,1,0( nib
i
=
многочлена
)(xQ
n
должны быть
такими, чтобы функция
)(
~
xy
удовлетворяла уравнению (4.29), поэтому
для их отыскания используют следующий алгоритм.
С помощью теоремы 6 устанавливается вид частного решения
)(
~
xy
.
Затем находятся производные
)(
~
xy
′
и
)(
~
xy
′′
. Решение
)(
~
xy
и его производные с неопределенными пока коэффициентами подставля-
ются в уравнение (4.29) и обе его части сокращаются на
xλ
e
. Далее мы
определяем коэффициенты
),1,0,( nib
i
=
исходя из тождественногоо
равенства двух многочленов, стоящих в левой и правой частях получен-
ного равенства.
Пример 4.4. Найти общее решение уравнения
( )
.e354
x
xyyy +=−
′
+
′′
(4.31)
Решение. Общее решение ищем в виде
yyy
~
0
+=
. Неоднородному
уравнению (4.31) соответствует однородное уравнение
. (4.32)
Его характеристическое уравнение
054
2
=−+
kk
(4.33)
имеет корни
5,1
21
−==
kk
. Следовательно, общее решение
однородного уравнения (4.32) имеет вид
xx
CCxy
5
210
ee)(
−
+=
.
Обратимся теперь к правой части уравнения (4.31). Здесь
3)(,1
+==λ
xxP
n
, следовательно,
1=n
. Поскольку у
1
k
=λ
, частное ре-
шение уравнения (4.31) следует искать в виде
( )
( )
xx
BxAxBAxxxy ee)(
~
2
+=+=
,
где коэффициенты
A
и
B
неизвестны.
3
arctg
3
1
9
)(
2
x
x
dx
xB =
+
=
∫
.
Тогда общее решен ие уравнения (4.26) имеет вид
( )
xx
x
x
CxCxy
2
2
22
1
e
3
arctg
3
1
e9ln
2
1
)(
++
+−=
.
4.3. Линейные дифференциальные уравнения со специальными
правыми частями
Пусть функции
)(xp
и
)(xq
в левой части уравнения (4.1) являютсяся
постоянными. Тогда для определенных типов правых частей этого урав-
нения вид частного решения заранее известен и нет необходимости при-
менять метод вариации постоянных.
Рассмотрим здесь два варианта специальных правых частей.
I. Уравнен ие (4.1) имеет вид
x
n
xPqyypy
λ
=+
′
+
′′
e)(
, (4.29)
где
)0()(
01
1
10
≠++++=
−
−
aaxaxaxaxP
nn
nn
n
– многочлен степе-
í è
n, а λ – вещественное число.
Уравнению (4.29) соответствует однородное уравнение
0=+
′
+
′′
qyypy
с характеристическим уравнением
0
2
=++ qpkk
. (4.30)
Теорема 6 (без доказательства).
Уравнение (4.29) имеет частное решение
y
~
вида
λ
λ
λ
=
λ
λ
λ
(4.30), корнем кратным является если,e)(
(4.30); корнем простым является если,e)(
;(4.30)корнемявляетсяне если,e)(
)(
~
2 x
n
x
n
x
n
xQx
xxQ
xQ
xy
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы