Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

72 73
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение. Чтобы решить задачу Коши, найдем сначала общее реше-
ние уравнения (4.35) в виде
yyy
~
0
+=
, а затем определим произвольные
постоянные так, чтобы выполнялись начальные условия (4.36).
Неоднородному уравнению (4.35) соответствует однородное урав-
нение
084 =+
′
+
′′
yyy
(4.37)
с характеристическим уравнением
084
2
=++
kk
. (4.38)
Уравнение (4.38) не имеет вещественных корней
)22(
2,1
ik
±−=
. В
этом случае
2,2 =β−=α
и, следовательно, общее решение однородногоо
уравнения (4.37) имеет вид
xCxCxy
xx
2cose2sine)(
2
2
2
10
−−
+=
.
Теперь по виду правой части уравнения (4.35) подберем
)(
~
xy
. Здесь
1=n
,
. Частное решение уравнения (4.35) ищем в виде
BAxxy +=)(
~
.
Тогда
0)(
~
,)(
~
=
′′
=
′
xyAxy
и
( )
.8484 BAxAyyy
++=+
′
+
′′
Так как должно выполняться тождество
25848 +≡++ xBAAx
,
то справедлива система
=+
=
.284
;58
BA
A
Отсюда устанавливаем, что
.
16
1
,
8
5
−== BA
Итак, общее решение (4.35) имеет вид
.
16
1
8
5
2cose2sine)(
2
2
2
1
−++=
−−
xxCxCxy
xx
(4.39)
Чтобы определить
A
и
B
, подставим
)(
~
xy
и его производные
в исходное уравнение (4.31). Здесь при вычислении
)(
~
xy
′′
удобно вос-
пользоваться формулой
vuvuvuuv
′′
+
′′
+
′′
=
′′
2)(
.
Итак,
( )
( )
( )
( )
( )
,ee22e2)(
~
,ee2)(
~
,e)(
~
2
2
2
xxx
xx
x
BxAxBAxAxy
BxAxBAxxy
BxAxxy
++++=
′′
+++=
′
+=
и левая часть уравнения (4.31) принимает вид
( )
( ) ( )( )
{ }
( ){ }
.e226
2422541e
)(
~
5)(
~
4)(
~
2
x
x
ABAx
ABAxBxAx
xyxyxy
++=
=++++−++=
=−
′
+
′′
Коэффициенты
A
и
B
должны быть такими, чтобы обе части урав-
нения (4.31) были тождественно равны друг другу, т. е.
( )
32612 +≡++ xABAx
. (4.34)
Тождество (4.34) выполняется тогда и только тогда, когда слева
и справа стоят одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях
x
:
=+
=
.326
;112
AB
A
Следовательно,
12
1
=A
,
36
17
=B
, а
.e
36
17
12
)(
~
2
x
x
x
xy
+=
Таким образом, общее решение уравнения (4.31) имеет вид
.e
36
17
12
ee)(
2
5
21
xxx
x
x
CCxy
+++=
−
Пример 4.5. Реш ить задачу Коши:
,2584 +=+
′
+
′′
xyyy
(4.35)
.1;1
00
−=
′
=
== xx
yy
(4.36)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы