Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

76 77
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Таким образом, общее решение уравнения (4.45) имеет вид
.eee)(
525
2
5
1
xxx
xxCCxy
−−−
++=
II. Уравнение (4.1) имеет вид
( )
x
xNxMqyypy
τ
ω+ω=+
′
+
′′
ecossin
, (4.48)
где
τ≠ω и0,, NM
– вещественные числа.
Уравнению (4.48) сопутствует однородное уравнение
0=+
′
+
′′
qyypy
с характеристическим уравнением
0
2
=++ qpkk
. (4.49)
Теорема 7 (без доказательства)
Уравнение (4.48) имеет частное решение
y
~
вида
( )
( )
−
=ω−=τ
−=ω±τω+ω
−
≠ω−≠τ
−=ω±τ+
=
τ
.
2
4
и
2
е.т.
(4.49),
)1( ,ec ossin
;
2
4
или
2
е.т.
(4.49),
)1( ,eωcosωsin
)(
~
2
2
2
2τ
pq
p
авненияорнями урявляются к
iiесли числаxBxAx
pq
p
авнениютворяют урне удовле
iiесли числаxBxA
xy
x
x
Здесь
A
и
B
– числа, подлежащие последующему определению.
Числа
и
B
определяются непосредственной подстановкой реше-
ния
)(
~
xy
и его производных в уравнение (4.48). В результате этой под-
становки уравнение (4.48) превратилось бы в тождество, если бы коэф-
фициенты при
xωsin
и
xωcos
в его левой и правой частях были бы оди-
Таким образом, общее решение (4.41) имеет вид
.e
256
73
32
9
8
1
ee)(
325
2
2
1
xxx
xxCCxy
+−++=
−
Пример 4.7. Найти общее решение уравнения
.e22510
5x
yyy
−
=+
′
+
′′
(4.45)
Решение. Составим однородное уравнение
02510 =+
′
+
′′
yyy
(4.46)
и соответствующее ему характеристическое уравнение
02510
2
=++
kk
. (4.47)
Уравнение (4.47) имеет один двукратный корень
5
21
−==
kk
. Об-
щее решение однородного уравнения (4.46) имеет вид
xx
xCCxy
5
2
5
10
ee)(
−−
+=
.
Отметим, что в правой части уравнения (4.45)
0=n
,
5−=λ
, так
что
21
kk ==λ
. Частное решение уравнения (4.45) следует искать в виде
x
Axxy
52
e)(
~
−
=
,
где коэффициент
A
подлежит последующему определению. Найдем про-
изводные
)(
~
),(
~
xyxy
′′′
:
( )
( )
xxx
xx
xxAxy
xxAxy
5255
525
e25e20e2)(
~
,e5e2)(
~
−−−
−−
+−=
′′
−=
′
и подставим
)(
~
xy
и найденные производные в левую часть уравнения
(4.45). Получим
{ }
.e225502025202e
~
25
~
10
~
52225 xx
AxxxxxAyyy
−−
=+−++−=+
′
+
′′
Следовательно,
22 ≡A
или
1=A
.
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы