Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

78 79
Обыкновенные дифференциальные уравнения
будет выполнено, если равны друг другу коэффициенты при
x2sin
и
x2cos
.
Приравниваем коэффициенты при
x2sin
и
x2cos
в левой и правойой
частях (4.53). Получаем систему равенств
=+
=−
.34
;54
BA
BA
Отсюда
.1,1 −== BA
Следовательно,
.2cos2sin)(
~
xxxy −=
Тогда общее решение (4.52) имеет вид
.2cos2sin2cose2sine)(
21
xxxСxСxy
xx
−++=
−−
Пример 4.9. Решить задачу Коши:
,cos2sin3 xxyy +=+
′′
(4.54)
.1,0
00
=
′
=
==
xx
yy
(4.55)
Решение. Найдем сначала общее решение уравнения (4.54). Составим
для этого соответствующее ему однородное уравнение
(4.56)
и характеристическое уравнение
.01
2
=+k
(4.57)
Уравнение (4.57) имеет корни
).1,0(
2,1
=β=α±=
ik
Следова-
тельно,
.cossin)(
210
xCxCxy
+=
Для уравнения (4.54) имеем
2,3,0,1 ===τ=ω NM
. Частное
решение
)(
~
xy
следует искать в виде
)cossin()(
~
xBxAxxy +=
,
наковыми. Условие равенства коэффициентов при
xωsin
и
xωcos
в обе-е-
их частях уравнения и является условием для нахождения
A
и
B
.
Пример 4.8. Найти общее решение уравнения
.2cos32sin552 xxyyy +=+
′
+
′′
(4.50)
Решение. Уравнению (4.50) соответствует однородное уравнение
052 =+
′
+
′′
yyy
(4.51)
с характеристическим уравнением
.052
2
=++ kk
(4.52)
Уравнение (4.52) имеет два корня:
).2
2
4
,1
2
(21
2
2,1
=
−
=β−=−=α±−=
pq
p
ik
Значит,
).2cos2sin(e)(
210
xCxCxy
x
+=
−
В уравнении (4.50)
3,5,0,2 ===τ=ω NM
. Заметим, что числа
ii 2±=ω±τ
не являются корнями уравнения (4.52). Следовательно,
частное решение уравнения (4.50) ищем в виде
.2cos2sin)(
~
xBxAxy +=
Тогда
,2sin22cos2)(
~
xBxAxy −=
′
xBxAxy 2cos42sin4)(
~
−−=
′′
и
( ) ( )
( ) ( )
.2cos42sin4
5442cos5442sin
)(
~
5)(
~
2)(
~
xBAxBA
BABxABAx
xyxyxy
++−=
=++−++−−=
=+
′
+
′′
Тождество
( ) ( )
xxxBAxBA 2cos32sin52cos42sin4
+≡++−
(4.53)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы