Составители:
Рубрика:
82 83
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Ищем число
A
:
,e2e)(
~
22
1
xx
AxAxy
−−
−=
′
,e4e4)(
~
22
1
xx
AxAxy
−−
+−=
″
( )
.e2812644e
~
8
~
6
~
22
111
xx
AxxxAyyy
−−
=+−++−=+
′
+
′′
Следовательно,
xx
A
22
e4e2
−−
≡
и
2=A
.
Тогда
x
xxy
2
1
e2)(
~
−
=
.
2. Решим уравнение, правая часть которого совпадает с
)(
2
xf
.
( )
.e386
x
xyyy +=+
′
+
′′
(4.66)
Уравнение (4.66) имеет специальную правую часть вида
x
n
xР
λ
e)(
,
где
1=n
,
1=λ
. Так как
1
k
≠λ
и
2
k
≠λ
, его частное решение следует ис-
кать в виде
( )
.e)(
~
2
x
BDxxy +=
Определяем коэффициенты
D
и B:
( )
,ee)(
~
2
xx
BDxDxy ++=
′
( )
,ee2)(
~
2
xx
BDxDxy ++=
″
( ) ( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ }
.81515e158e
8662e
~
8
~
6
~
222
DBDxBDxD
BDxBDxDBDxDyyy
xx
x
++=++=
=+++++++=+
′
+
′′
Следовательно,
.3)815(15 +≡++ xDBDx
Отсюда
=+
=
3815
,115
DB
D
или
.
225
37
,
15
1
== BD
Справедливость этого следствия очевидна.
Опираясь на теорему 8 и ее следствие, можно к разным слагаемым
правой части неоднородного уравнения применять различные формулы и
различные методы для отыскания частных решений.
Пример 4.10. Найти общее решение уравнения
.2sine)3(e486
2
xxyyy
xx
+++=+
′
+
′′
−
(4.62)
Решение. Составим соответствующее (4.62) однородное уравнение
086 =+
′
+
′′
yyy
(4.63)
и характеристическое уравнение
.086
2
=++
kk
(4.64)
Последнее имеет два вещественных корня:
4,2
21
−=−=
kk
. Сле-
довательно, общее решение уравнения (4.63) имеет вид
.ee)(
4
2
2
10
xx
CCxy
−−
+=
Правую часть уравнения (4.62) представим в виде суммы трех сла-
гаемых:
.2sin)(,e)3()(,e4)(
32
2
1
xxfxxfxf
xx
=+==
−
Будем последовательно искать частные решения неоднородных урав-
нений, правые части которых совпадают с одним из указанных слагае-
мых, а левые части – одинаковые и совпадают с левой частью уравнения
(4.62):
1. Решим уравнение, правая часть которого совпадает с
)(
1
xf
.
.e486
2x
yyy
−
=+
′
+
′′
(4.65)
Это уравнение со специальной правой частью вида
x
n
xР
λ
e)(
, где
0=n
,
а
2−=λ
. Так как
λ
совпадает с корнем
2
1
−=
k
, то решение (4.65) ищем
в виде
x
Axxy
2
1
e)(
~
−
=
.
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
