Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

80 81
Обыкновенные дифференциальные уравнения
4.4. Принцип наложения
Теорема 8. Пусть правая часть линейного неоднородного диффе-
ренциального уравнения может быть представлена как сумма двух сла-
гаемых, а именно:
).()()()(
21
xfxfyxqyxpy
+=+
′
+
′′
(4.59)
Тогда уравнение (4.59) имеет частное решение вида
)(
~
)(
~
)(
~
21
xyxyxy
+=
,
где
)(
~
1
xy
– какое-нибудь частное решение уравнения
)()()(
1
xfyxqyxpy
=+
′
+
′′
, (4.60)
а
)(
~
2
xy
– какое-нибудь частное решение уравнения
)()()(
2
xfyxqyxpy =+
′
+
′′
. (4.61)
Доказательство. Подставим
)(
~
xy
в левую часть уравнения (4.59).
Учитывая, что
)(
~
1
xy
удовлетворяет (4.60), а
)(
~
2
xy
удовлетворяет (4.61),
получим цепочку равенств
( ) ( )
).()(
~
)(
~
)(
~~
)(
~
)(
~
)
~~
()()
~~
()()
~~
(
)(
)(
21
222111
212121
xfxf
yxqyxpyyxqyxpy
yyxqyyxpyy
yxqyxpy
+=
=+
′
+
′′
++
′
+
′′
=
=++
′
++
′′
+=
Тем самым доказано, что
)(
~
xy
удовлетворяет (4.59).
Следствие. Пусть линейное неоднородное уравнение имеет вид
)1()()()()()(
21
>+++=+
′
+
′′
nxfxfxfyxqyxpy
n
.
Тогда его частным решением будет функция
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
21
xyxyxyxy
n
+++=
,
где
),,1()(
~
nkxy
k
=
являются решениями уравнений
)()()( xfyxqyxpy
k
=+
′
+
′′
.
поскольку значения
ii ±=ω±τ
совпадают с корнями (4.57). Тогда
),cossin()sincos()(
~
xBxAxBxAxxy ++−=
′
)cossin()sincos(2)(
~
xBxAxxBxAxy −−+−=
′′
.
После подстановки
)(
~
xy
,
)(
~
xy
′
и
)(
~
xy
′′
в левую часть (4.54) имеем
).sincos(2)(
~
)(
~
xBxAxyxy −=+
′′
Следовательно, A и B должны обеспечивать выполнение тождества
xxxBxA cos2sin3)sincos(2 +≡−
.
Отсюда
=−
=
32
,22
B
A
или
.
2
3
,1 −== BA
Общее решение (4.54) имеет вид
).cos
2
3
(sincossin)(
21
xxxxСxСxy −++=
(4.58)
Будем теперь искать такие значения постоянных
1
С
и
2
С
, чтобы
выполнялись начальные условия (4.55). Согласно первому из них
2
)0(0 Cy ==
,
откуда
0
2
=
С
. Продифференцируем общее решение (4.58). Учитывая
найденное значение
2
С
, получим
).sin
2
3
(cos)cos
2
3
(sincos)(
1
xxxxxxСxy ++−+=
′
Согласно второму из равенств (4.55) имеем
2
3
)0(1
1
−=
′
= Cy
,
откуда найдем
2
5
1
=С
.
Итак, решение задачи Коши (4.54), (4.55) имеет вид
xxxxxxy cos
2
3
sinsin
2
5
)( −+=
.
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы