Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

74 75
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Последнее имеет два вещественных корня:
5,2
21
−==
kk
. Следо-
вательно, общее решение однородного уравнения (4.42) имеет вид
xx
CCxy
5
2
2
10
ee)(
−
+=
. (4.44)
Теперь для нахождения частного решения
)(
~
xy
обратимся к правой
части уравнения (4.41). Здесь
2
)(,3 xxP
n
==λ
, следовательно,
2=n
.
Так как
1
k
≠λ
и
2
k
≠λ
, то частное решение уравнения (4.41) ищем в виде
( )
x
CBxAxxy
32
e)(
~
++=
,
где коэффициенты А, В и C подлежат определению. Для этого найдем
производные
)(
~
),(
~
xyxy
′′′
:
,e9e26e2)(
~
,e3e2)(
~
3233
323
xxx
xx
CBxAxBAxAxy
CBxAxBAxxy
+++++=
′′
++++=
′
и подставим
)(
~
xy
и его производные в левую часть уравнения (4.41). По-
лучим
( )
( ) ( )( )
{ }
( )
( )
{ }
.2298e
23621099e
~
10
~
3
~
23
23
ABAxCBxAx
ABAxCBxAxyyy
x
x
+++++=
=++++−+++=−
′
+
′′
Приравнивая друг другу левую и правую части уравнения (4.41)
и сокращая их на
x3
e
, получим тождествоо
( )
( )
.2298
22
xABAxCBxAx ≡+++++
Следовательно,
BA,
и C надлежит выбрать так, чтобы это тожде-
ство выполнялось. Тогда
=++
=+
=
,0892
;0818
;18
CBA
BA
A
откуда
.
256
73
,
32
9
,
8
1
=−== CBA
Учтём первое из начальных условий (4.36):
16
1
)0(1
2
−== Cy
.
Отсюда
16
17
2
=C
. (4.40)
Продифференцируем функцию (4.39) с учётом (4.40):
.
8
5
2sine
8
17
2cose
8
17
2cose22sine2)(
22
2
1
2
1
+−−
−+−=
′
−−
−−
xx
xCxCxy
xx
xx
Учтем второе из начальных условий (4.36):
8
5
8
17
2)0(1
1
+−=
′
=− Cy
или
4
1
1
=C
.
Итак, решение задачи Коши (4.35), (4.36) имеет вид
.
16
1
8
5
2cos
16
17
2sin
4
1
e)(
2
−+
+=
−
xxxxy
x
Пример 4.6. Найти общее решение уравнения
.e103
32 x
xyyy =−
′
+
′′
(4.41)
Решение. Общее решение ищем в виде
yyy
~
0
+=
. Составим соот-
ветствующее однородное уравнение
0103 =−
′
+
′′
yyy
(4.42)
и его характеристическое уравнение
0103
2
=−+
kk
. (4.43)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы