Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

68 69
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Ищем частное решение уравнения (4.26) в виде
xx
xxBxAxy
22
e)(e)()(
~
+=
.
Для отыскания
)(xA
′
и
)(xB
′
составляем систему уравнений
( )
+
=+
′
+
′
=
′
+
′
9
e
e2e)(e)(2
;0e)(e)(
2
2
222
22
x
xxBxA
xxBxA
x
xxx
xx
или
( )
+
=+
′
+
′
=
′
+
′
.
9
1
21)()(2
;0)()(
2
x
xxBxA
xxBxA
(4.28)
Определитель системы (4.28) имеет вид
.1
212
1
)( =
+
=
x
x
xW
Тогда
9
21
9
1
0
)(
2
2
+
−=
+
+
=
′
x
x
x
x
x
xA
,
9
1
9
1
2
01
)(
2
2
+
=
+
=
′
x
x
xB
.
Можно решить систему (4.28) по-другому. Первое уравнение системы
(4.28) умножим на (–2) и сложим со вторым уравнением. Получим
9
1
)(
2
+
=
′
x
xB
и подставим этот результат в первое уравнение системы (4.28).
Находим первообразные функций
)(xA
′
и
)(xB
′
:
9ln
2
1
9
)(
2
2
+−=
+
−=
∫
xdx
x
x
xA
,
или
1e
e
)(
2
2
+
−=
′
x
x
xA
.
Подставим полученный результат в первое уравнение системы (4.25)
и найдем
1e
e
)(
2
+
=
′
x
x
xB
.
Ищем первообразные функций
)(xA
′
и
)(xB
′
:
( )
1eln
2
1
1e
)1e(
2
1
1e
e
)(
2
2
2
2
2
+−=
+
+
−=
+
−=
∫∫
x
x
x
x
x
d
dxxA
,
x
x
x
x
x
d
dxxB earctg
1e
)e(
1e
e
)(
22
=
+
=
+
=
∫∫
.
Общее решение уравнения (4.23) имеет вид
( ) ( )
xxxx
CCxy
−−
++
+−= eearctge1eln
2
1
)(
2
22
1
.
Пример 4.3. Найти общее решение уравнения
.
9
e
44
2
2
+
=+
′
−
′′
x
yyy
x
(4.26)
Решение. Составляем однородное уравнение
044 =+
′
−
′′
yyy
. (4.27)
Его характеристическое уравнение
044
2
=+−
kk
имеет один кратный корень
2
0
=k
. Общее решение (4.27) имеет вид
xx
xCCxy
2
2
2
10
ee)( +=
.
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы