Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

62 63
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Единственное решение этой системы можно найти по формулам
Крамера:
)(
)(
~
)(
)(
~
)(
,
)(
)()(
~
)()(
~
0
0101
0001
0
2
0
0201
0200
0
1
xW
xybxy
xybxy
C
xW
xyxyb
xyxyb
C
′
−
′
−
=
′′
−
−
=
, (4.10)
где
)()(
)()(
)(
0201
0201
0
xyxy
xyxy
xW
′′
=
– значение вронскиана линейно независи-
мых частных решений
)(
1
xy
,
)(
2
xy
. Напомним, что
0)(
0
≠
xW
, так как
решения
)( и )(
21
xyxy
линейно независимы. Таким образом, функция
(4.8), где постоянные
0
2
0
1
и CC
вычислены по формулам (4.10), удовлет-
воряет начальным условиям (4.7).
Теорема доказана.
Существует несколько методов отыскания частных решений
)(
~
xy
уравнения (4.1). Один из них является универсальным, другие приспо-
соблены к определенным видам правых частей уравнения (4.1).
4.2. Метод вариации произвольных постоянных
(метод Лагранжа)
Этот метод позволяет находить частное решение
)(
~
xy
неоднород-
ного уравнения (4.1) всегда, когда известно общее решение
)(
0
xy
одно-
родного уравнения (4.4). Более того, он позволяет сразу получить общее
решение (4.1).
Итак, рассмотрим параллельно оба уравнения (4.1) и (4.4):
)()()( xfyxqyxpy =+
′
+
′′
,
.
Пусть общее решение (4.4) известно и имеет вид
≠+= const
)(
)(
)()()(
2
1
22110
xy
xy
xyCxyCxy
. (4.11)
1. Докажем, что при любых значениях постоянных
21
и CC
функ-
ция (4.5) удовлетворяет уравнению (4.1). Для этого дважды продиффе-
ренцируем функцию (4.3) и подставим саму функцию и ее производные
в левую часть уравнения (4.1). Получим:
=++
′
++
′′
+=+
′
+
′′
)
~
)(()
~
)(()
~
()()(
000
yyxqyyxpyyyxqyxpy
)
~
)(
~
)(
~
())()((
000
yxqyxpyyxqyxpy
+
′
+
′′
++
′
+
′′
=
. (4.6)
Поскольку
0
y
– общее решение уравнения (4.4), где
)()(
22110
xyCxyCy
+=
, выражение в первой скобке правой части равен-
ства (4.6) обращается в ноль. С другой стороны, в силу того, что
)(
~
xy
удовлетворяет тождеству (4.2), выражение во второй скобке правой час-
ти (4.6) равно
)(xf
. Так что при любых значениях
21
, CC
справедливоо
тождество
)()()( xfyxqyxpy ≡+
′
+
′′
.
2. Докажем, что для любых начальных условий
00
)( bxy =
,
10
)( bxy =
′
(4.7)
найдутся такие значения
0
2
0
1
и CC
, для которых функция
)(
~
)()()(
2
0
21
0
1
xyxyCxyCxy ++=
(4.8)
удовлетворяет начальным условиям (4.7). Для этого вычислим значение
функции (4.5) и ее производной при
0
xx
=
и потребуем выполнен ия (4.7).
Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно
21
и CC
′
−=
′
+
′
−=+
).(
~
)()(
);(
~
)()(
01022011
00022011
xybxyCxyC
xybxyCxyC
(4.9)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы