Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

48 49
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Доказательство. Зап ишем
)(xW
в виде
)()()()()(
1221
xyxyxyxyxW
′
−
′
=
(3.6)
и продифференцируем эту функцию:
=
′′
−
′′
−
′′
+
′′
=
′
)()()()()()()()()(
12122121
xyxyxyxyxyxyxyxyxW
=
)()()()(
1221
xyxyxyxy
′′
−
′′
. (3.7)
Составим теперь уравнение, связывающее
)(xW
и
)(xW
′
. Для это-о-
го проведем следующие рассуждения. Справедливы тождества
0)()(
111
=+
′
+
′′
yxqyxpy
, (3.8)
0)()(
222
=+
′
+
′′
yxqyxpy . (3.9)
Умножим тождество (3.8) на
( )
y−
, а (3.9) – на
1
y
и сложим полу-
ченные тождества. В результате получим
0))(()(
21122112
=
′
+
′
−+
′′
+
′′
−
yyyyxpyyyy
.
Из равенств (3.6), (3.7) следует тогда, что
)(xW
удовлетворяет урав-
нению
0)()()( =+
′
xWxpxW
. (3.10)
Уравнение (3.10) является уравнением первого порядка с разделяю-
щимися переменными. Найдем его общее решение. Запишем (3.10)
в виде
)()(
)(
xWxp
dx
xdW
−=
или
dxxp
xW
xdW
)(
)(
)(
−=
.
Отсюда
)0(ln)(
)(
)(
≠+−=
∫∫
CCdxxp
xW
xdW
(3.11)
или
)0(elnln)(ln
)(
≠+=
∫
−
CCxW
dxxp
. (3.12)
Тогда
( )
( )
∫
−
=
dxxp
CxW e
. (3.13)
Заметим, что в формулах (3.11) и (3.12) мы должны предположить,
что
0≠C
. Однако в итоговой формуле (3.13) это ограничение можно
снять, так как
0)( ≡xW
очевидным образом является решением уравне-
ния (3.10). Из формулы (3.13) следует, что либо функция
)(xW
нигде
в ноль не обращается (при
0≠C
), либо
0)( ≡xW
(при
0=C
). Теоремаа
доказана.
Ясно, что обращение или необращение вронскиана
)(xW
в ноль за-
висит от того, на каких решениях он построен. В следующем пункте
мы выделим в отдельные классы пары решений
)(, )(
21
xyxy
, для кото-
рых
0)( ≡xW
, и пары, для которых
)(xW
нигде не обращается в ноль.
3.3. Линейно зависимые и линейно независимые частные
решения линейного однородного уравнения
Пусть
)( и )(
21
xyxy
– какие-либо частные решения однородногоо
уравнения (3.2) на промежутке X. Будем говорить, что
)( и )(
21
xyxy
яв-
ляются линейно независимыми на промежутке X, если
const
)(
)(
2
1
≡
/
xy
xy
)( Xx ∈
. (3.14)
В противном случае, т. е. если
)(cons t
)(
)(
2
1
Xx
xy
xy
∈≡
, (3.15)
эти решения называются линейно зависимыми на промежутке X.
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы