Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38 39
Обыкновенные дифференциальные уравнения
или
21
ln
1
)( CxC
x
xy ++=
. (2.23)
Б. Подставим значения
yyx
′
и,
из начальных условий (2.19) после-
довательно в (2.22) и (2.23). Получим из (2.22)
1
12 C+−=
,
откуда
3
1
=
C
. Получим из (2.23)
2
11 C
+=
,
откуда
0
2
=
C
. Решение задачи Коши (2.18), (2.19) имеет вид
x
x
xy ln3
1
)( +=
.
Замечание. В уравнениях, допускающих понижение порядка,
при решении задачи Коши значения одной из двух произвольных посто-
янных можно находить сразу после первого интегрирования.
2.1.3. Уравнения, не содержащие независимой переменной
Такие уравнения имеют вид
),( yyfy
′
=
′′
. (2.24)
Примем
за новую независимую переменную и введем новую фун-
кцию этой переменной
yyp
′
=)(
. Пользуясь правилом дифференциро-
вания сложной функции, получим:
ppypypyyy
yxyxxxxx
′
=
′′
=
′
=
′′
=
′′
=
′′
))(()(
.
Теперь уравнение (2.24) превратилось в уравнение первого порядка
( )( )
ypppyfpp
y
==
′
),(
. (2.25)
Предположим, что нам известно ег о общее реш ение
( )
1
,Cyp Ψ=
. (2.26)
Равенство (2.26) является уравнением первого порядка относитель-
но функции
( )
xyy =
:
( ) ( )( )
xyyCyy
=Ψ=
′
1
,
. (2.27)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его:
( )
2
1
,
Cx
Cy
dy
+=
Ψ
∫
. (2.28)
Получен общий интеграл уравнения (2.24).
Пример 2.3 [4]. Решить уравнение
( )
( )( )
xyy
y
y
y =
′
−=
′′
2
. (2.29)
Решение. Вводим новую независимую переменную
и новую фун-
кцию
x
yyp
′
=
)(
. Тогда
ppy
y
′
=
′′
, и (2.29) принимает вид
( )( )
ypp
y
p
pp ==+
′
0
2
(2.30)
или
0=
+
′
y
p
pp
.
Отметив, что
0=p
(т. е.
cons t=y
) является решением (2.30), рас-
смотрим теперь уравнение
0=+
′
y
p
p
. (2.31)
Уравнение (2.31) является уравнением с разделяющимися перемен-
ными. Приведем (2.31) к виду
y
dy
p
dp
−=
(2.32)
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы