Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

32 33
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Общий вид дифференциального уравнения второго порядка таков:
0),,,( =
′′′
yyyxF
. (2.1)
Здесь
)(xyy =
.
Решением уравнения (2.1) на промежутке
X
называется дваж-
ды дифференцируемая функция
)(xyy =
, которая при подстановкее
в уравнение (2.1) обращает его в тождество относительно аргумента х
на промежутке
X
.
Во многих случаях уравнение (2.1) может быть разрешено относи-
тельно старшей производной. Тогда оно принимает вид
( )
yyxfy
′
=
′′
,,
. (2.2)
Именно такие уравнения мы и будем рассматривать.
Рассмотрим пример уравнения второго порядка
0=+
′′
yy
. (2.3)
Здесь легко «угадать» решения:
xyxy cos и sin ==
. Нетрудно так-
же догадаться, что любая функция вида
xCxCy cossin
,
где
21
и CC
– любые числа, также будет решением данного уравнения.
Ещё один пример:
2
xy =
′′
. (2.4)
Любая функция вида
21
4
12
CxC
x
y ++=
, где
21
и CC
– числа, являетсяся
решением этого уравнения. Действительно,
( )
.0
1212
22
21
4
21
4
xxCxC
x
CxC
x
y =+=
″
++
″
=
″
++=
′′
Итак, уравнение второго порядка, так же как и уравнение первого
порядка, имеет множество решений. В отличие от уравнений первого по-
рядка множество решений здесь определяется не одним параметром
C
, а
двумя параметрами:
21
и CC
.
Чтобы конкретизировать какую-то функцию из этого множества ре-
шений, для уравнения (2.2) задают начальные условия
10
00
)( ,)( bxybxy
xxxx
=
′
=
==
(2.5)
(или
1000
)( ,)( bxybxy
=
′
=
). Функция
( )
yyxf
′
,,
должна быть определе-
на при
100
,, bybyxx
=
′
==
.
Для уравнения второго порядка (так же как и для уравнения первого
порядка) введем понятия общего и частного решений.
Общим решением уравнения (2.2) называется семейство функ-
ций
),,(
21
CCxy
ϕ=
, зависящих от независимой переменной
x
и двухх
произвольных постоянных
21
и CC
, обладающее следующими свой-
ствами:
1) для любых значений
0
2
0
1
, CC
функция
),,(
0
2
0
1
CCxy ϕ=
является
решением (2.2);
2) для любых трёх чисел
100
, , bbx
, таких, что значение
( )
100
,, bbxf
определено, существуют такие значения
0
2
0
1
, CC
, что
),,(
0
2
0
1
CCxy ϕ=
удовлетворяет начальным условиям (2.5).
Частным решением уравнения (2.2) называется решение, полу-
ченное из общего решения при конкретных значениях
21
и CC
.
Задача Коши для уравнения (2.2) состоит в нахождении его част-
ного решения, удовлетворяющего начальным условиям (2.5).
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы