Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

24 25
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение. Уравнение (1.65) можно записать в виде
x
y
x
y
y
−
+
=
′
1
1
, (1.66)
поделив числитель и знаменатель его правой части на
x
. Вводим новую
функцию
x
y
z =
, и уравнение (1.66) приобретает вид
z
z
zxz
−
+
=+
′
1
1
.
Преобразуем его:
z
z
z
xz −
−
+
=
′
1
1
или
z
z
x
dx
dz
−
+
=
1
1
2
.
Разделяя здесь переменные, получаем
x
dx
dz
z
z
=
+
−
2
1
1
. (1.67)
Интегрируем (1.67). Тогда
C
x
dx
dz
z
z
ln
1
1
2
+=
+
−
∫∫
,
откуда
Cxzz lnln)1ln(
2
1
arctg
2
+=+−
или
)1(lnarctg2
222
+= zxCz
.
Отсюда
z
zxC
arctg2222
e)1( =+
.
Заменяя здесь
z
на
x
y
, находим окончательно
( )
x
y
yxC
arctg2
222
e=+
.
Это общий интеграл уравнения (1.65).
Пример 1.11. Найти общее решение уравнения
x
y
y
x
y
+=
′
−
e
. (1.68)
Решение. Сделаем замену искомой функции
y
по формуле
x
y
z =
и
запишем уравнение (1.68) следующим образом:
zzzx
z
+=+
′
−
e
или
z
zx
−
=
′
e
,
откуда
x
dx
dz
z
=e
.
Значит,
∫∫
+= C
x
dx
dz
z
e
или
Cx
z
+= lne
.
Отсюда находим, что
( )
Cxz += lnln
при
Cx −>ln , или
C
x
−
> e
.
Таким образом, общее решение уравнения (1.68) имеет вид
( )
)e(lnln
C
xCxxy
−
>+=
.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы