Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12 13
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.3. Линейные уравнения
Линейным уравнением называется уравнение вида
)0)(()()( ≠=+
′
xpxfyxpy
. (1.22)
Заметим, что искомая функция
y
и ее производная
y
′
входят
в уравнение (1.22) только в первой степени и между собой не перемножа-
ются.
Общее решение этого уравнения будем искать методом Бернулли.
Согласно этому методу решение ищется в виде произведения двух
функций
)()()( xvxuxy =
, (1.23)
где функция
0)( ≠xv
выбирается произвольно, а функция
)(xu
определя-
ется при известной уже
)(xv
так, чтобы
)(xy
была решением (1.22).
Подставим функцию (1.23) в уравнение (1.22). Получим
или
)())(( xfvxpvuvu =+
′
+
′
. (1.24)
Наложим на функцию
)(xv
условие, состоящее в том, что она удов-
летворяет уравнению
0)( =+
′
vxpv
. (1.25)
Здесь мы воспользовались возможностью произвольно выбрать
)(xv
. Уравнение (1.25) – уравнение с разделяющимися переменными.
Поэтому представим его в виде
dxxp
v
dv
)(−=
. (1.26)
Проинтегрируем (1.26). Получим
∫∫
−= dxxp
v
dv
)(
или
∫
−= dxxpv )(ln ,
откуда
=)(xv
∫
− dxxp )(
e
. (1.27)
Нам нужна лишь одна, любая функция, удовлетворяющая (1.25),
поэтому произвольную постоянную при интегрировании положим рав-
ной нулю.
Подставив функцию
)(xv
в уравнение (1.24), получим для опреде-
ления
)(xu
простейшее уравнение
)(
)(
xv
xf
u =
′
.
Его общее решение имеет вид
∫
+= Cdx
xv
xf
xu
)(
)(
)(
.
Тогда
)(
)(
)(
)()( xvdx
xv
xf
xCvxy
+=
∫ ,
где
)(xv
определяется по формуле (1.27).
Пример 1.4. Найти общее решение уравнения
3
x
x
y
y =−
′
. (1.28)
Решение. Ищем решение в виде
uvy =
. Тогда (1.28) запишется сле-
дующим образом:
3
x
x
uv
uvvu =−
′
+
′
. (1.29)
Функцию
)(xv
ищем как решение уравнения
0=−
′
x
v
v
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы