Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

89
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Их общее решение представляет собой неопределенный интеграл от фун-
кции
)(xf
, т. е.
Cdxxfy +=
∫
)(
.
Здесь и во всех последующих записях решений дифференциальных
уравнений под символом
∫
dxxf )( имеется в виду одна (любая) первооб-
разная подынтегральной функции.
Уравнение (1.3) является простейшим.
1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Так называются уравнения вида
)()( ygxfy =
′
. (1.11)
Чтобы получить общее решение (общий интеграл) уравнения (1.11),
следует воспользоваться тем, что
dx
dy
xy =
′
)(
, а затем «разделить» пере-
менные, т. е. записать уравнение (1.11) в виде
dxxf
yg
dy
)(
)(
=
или
( )
∫∫
=
dxxfd
yg
dy
d )(
)(
.
Деля обе части (1.11) на
)( yg
, можно потерять решения вида
η=y
,
где
η=y
является решением уравнения
0)( =yg
. Эти решения после
получения общего решения следует рассмотреть отдельно. Может ока-
заться, что они не являются частными решениями (1.11).
Если дифференциалы двух функций равны, то сами функции могут
отличаться друг от друга лишь на постоянное слагаемое. (См. теорему о
первообразных учебного пособия [2].) Следовательно,
∫∫
+= Cdxxf
yg
dy
)(
)(
. (1.12)
Формула (1.12) и дает общее решение (общий интеграл) уравнения
(1.11). Заметим, что простейшее дифференциальное уравнение (1.10)
является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными
(1.11), когда
.
Пример 1.1. Найти общее решение уравнения
44
22
+++=
′
yxxyy
. (1.13)
Решение. Правую часть этого уравнения можно разложить на мно-
жители:
).1)(4()1(4)1(
)44()(44
22
2222
++=+++=
=+++=+++
xyxxy
xyxyyxxy
Следовательно, уравнение (1.13) можно переписать в виде
)1)(4(
2
++=
′
xyy
или
)1)(4(
2
++= xy
dx
dy
(1.14)
и «разделить» в нем переменные:
dxx
y
dy
)1(
4
2
+=
+
.
Отсюда
∫∫
++=
+
Cdxx
y
dy
)1(
4
2
или
Cx
xy
++=
22
arctg
2
1
2
.
Тем самым получен общий интеграл уравнения (1.13). Его можно
переписать в виде
Cxx
y
++=
2
2
arctg
2
.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы