Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 145 стр.

      Если силы потенциальные, то уравнения равновесия имеют вид
                ∂Π              ∂Π                  ∂Π
       Q1 = −       = 0; Q2 = −     = 0;...; Qs = −     = 0.
                ∂q1             ∂q2                 ∂qs

      Следовательно, в положении равновесия системы под действием
потенциальных сил приращение потенциальной энергии равно нулю
( δΠ = 0 ).
      Это значит, что потенциальная энергия системы в положении
равновесия имеет экстремальное значение (минимум – min, максимум –
max или точка перегиба).
      Для     консервативной       системы     общий    критерий    устойчивости
равновесия дает теорема Лагранжа–Дирихле: если потенциальная система
консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум,
то равновесие системы в этом положении является устойчивым. Условие

              ∂ 2Π
минимума:              > 0.
                ∂q 2

      Необходимые и достаточные условия равновесия системы дает
принцип возможных перемещений δA = ∑ Fk δrk = 0 .

                                                s
      В обобщенных координатах δA = ∑ Q j δq j = 0;            j = 1, 2,..., s , а так
                                                1
как обобщенные координаты независимы друг от друга ( δq j ≠ 0 ), то

равенство справедливо, если обобщенные силы равны нулю
       Q1 = Q2 = ... = Qs = 0 .

       Это и есть уравнение равновесия.




                                         145