Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 147 стр.

находящейся           под          действием            сил,      имеющих     потенциал,   получим
приближенное выражение для потенциальной энергии системы
                                         s   s
                            1
     U (q1, q2 ,..., qs ) =
                            2        ∑∑ cij qi q j .
                                        i =1 j =1

     Потенциальная энергия системы является однородной квадратичной
функцией         обобщенных                      координат.            Постоянные   cij    называют

коэффициентами жесткости.
     Дифференциальные уравнения движения системы с s степенями

свободы можно получить из уравнений Лагранжа второго рода в

обобщенных координатах

     d ⎛ ∂L ⎞ ⎛ ∂L ⎞
         ⎜       ⎟−⎜       ⎟=0                   (i = 1, 2,..., s ).
     dt ⎜⎝ ∂q&i ⎟⎠ ⎜⎝ ∂qi ⎟⎠

     Функция Лагранжа системы, совершающей свободные малые

колебания

                               s    s
                              ∑∑ (aij q&i q&i − cij qi q j ).
                1
     L = Τ −U =
                2
                              i =1 j =1

     Полный дифференциал функции Лагранжа
                  s       s
              ∑∑ (aij q&i dq& j + aij q& j dq&i − cij qi dq j − cij q j dqi )
          1
     dL =
          2
                 i =1 j =1

или после преобразований:
             s        s
     dL =   ∑∑ (aij q& j dq&i − cij q j dqi ).
            i =1 j =1




                                                          147