Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 148 стр.

      Производные, входящие в уравнения Лагранжа:
                 s                                 s                    s
       ∂L                           d ⎛ ∂L ⎞                     ∂L
       ∂q&i
            =   ∑      aij q& j ;      ⎜⎜
                                    dt ⎝ ∂q&i ⎠  ∑
                                              ⎟⎟ =   aij q&& j ;
                                                                 ∂qi       ∑
                                                                     = − cij q j .
                j =1                             j =1                      j =1

      Уравнения Лагранжа приводят к системе s линейных однородных
дифференциальных                    уравнений       второго             порядка   с   постоянными
коэффициентами
        s                  s
       ∑ aij q&& j + ∑ cij qi = 0                 (i = 1, 2,..., s ).
       j =1              j =1

      По общим правилам решения таких уравнений частные решения
ищутся в форме

      q j (t ) = A j eiωt или q j (t ) = A sin (ωt + α ) .

      Подставляя частные решения в исходную систему уравнений,
получим систему однородных линейных относительно неизвестных
постоянных A j алгебраических уравнений


      ∑ (− ω2aij + cij )A j = 0
        s
                                                   (i = 1, 2,..., s ).
       j =1

      Система однородных линейных алгебраических уравнений может
иметь отличные от нуля решения, если определитель этой системы равен

нулю: cij − aij ω2 = 0 .

      Полученное уравнение – характеристическое уравнение (или

уравнение частот) – является уравнением s-й степени относительно ω2 .
Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных




                                                    148