Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 165 стр.

соответственно.             Потенциальная              энергия             сил          упругости
      1      1
Π СУ = cλ2K − cλ2H , где λ H λ K – начальная и конечная деформации
      2      2
пружины         соответственно,          потенциальная            энергия         сил    тяжести
П СT = P4 s4 = P4 r1ϕ .
       Определим          начальную         и    конечную          деформации           пружины:
λ H = −λ ст , λ K = −λ ст + s4 = −λ ст + R1ϕ .
       В результате получим
             1                  1                     1
       Π СУ = c(− λ ст + R1ϕ)2 − cλ2 ст = −cR1λ ст ϕ + cR12ϕ2 .
             2                  2                     2
                                                                  1
       Потенциальная энергия всей системы Π = P4 r1ϕ − cR1λ ст ϕ + cR12ϕ2 .
                                                                  2
Частная      производная         от    потенциальной            энергии      по     обобщенной
                ∂Π
координате         = P4 r1 − cR1λ ст + cR12ϕ .
                ∂ϕ
       Статическую           деформацию           пружины            найдем        из    условия
⎛ ∂Π ⎞                                                          P4 r1
⎜    ⎟       = P4 r1 − cR1λ ст = 0 ,     откуда        λ ст =         .    Таким         образом,
⎝ ∂ϕ ⎠ ϕ = 0                                                    cR1

                                       1         ∂Π
потенциальная энергия системы равна Π = cR12ϕ2 и    = cR12ϕ .
                                       2         ∂ϕ
       Тогда      уравнение        Лагранжа        примет        вид        && + cR12ϕ = 0
                                                                          a0ϕ                или

                            cR12             1200 ⋅ 0,4 2
&& + k 2ϕ = 0 , где k 2 =
ϕ                                =                                   = 40 c − 2 .
                             a0    0,08 ⋅ 1,2 + 0,22 ⋅ 16 + 0,04 ⋅ 8
       Таким образом, собственная частота колебаний системы равна
                                                   2π 2π
k = 40 = 6 ,32 c −1 , а период колебаний равен τ =   =      = 0,99 c .
                                                    k 6 ,32




                                                165