Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

164
силу Q через потенциальную энергию П системы. Тогда исходным
уравнением будет
ϕ∂
Π∂
−=
ϕ∂
Π∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ϕ∂
Τ∂
&
dt
d
.
2. Определим кинетическую энергию системы, равную сумме
энергий всех тел:
421
Τ
+
Τ
+
Τ=Τ
.
Так как колеса
1
и
2
вращаются вокруг осей
О
1
и
О
2
, а груз
4
движется поступательно, то
2
111
2
1
ω=Τ I
,
2
222
2
1
ω=Τ I
,
2
444
2
1
vm=Τ
, где
2
2
11
1
Rm
I =
,
2
2
21
2
Rm
I =
– осевые моменты инерции.
Все скорости, входящие в выражения кинетических энергий выразим
через обобщенную скорость
ϕ
&
:
ϕ
=
ω
&
1
,
2
1
2
r
R
ϕ=ω
&
,
ϕ
=
&
14
rv
.
Выражение для кинетической энергии системы примет вид
22
14
2
2
2
1
2
22
2
11
22
14
2
2
11
2
22
1
2
1
22
1
ϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=ϕ+ϕ=Τ
&&&
rm
r
RRmRm
rm
Rm
.
Учитывая, что r
1
= 0,2 м, R
2
=0,5 м, r
2
= 0,3 м, получим
()
ϕ++=Τ
&
421
04,022,008,0
2
1
mmm или ϕ=Τ
&
0
2
1
a ,
где
4210
040220080 m,m,m,a
+
+
=
.
Определим производные, входящие в уравнение Лагранжа
ϕ=
ϕ∂
Τ∂
&
&
0
a
,
0=
ϕ∂
Τ
∂
,
ϕ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ϕ∂
Τ∂
&&
&
0
a
dt
d
.
3. Определим потенциальную энергию системы
СУCT
Π+Π
=
Π
, где
СУ
П
,
CT
П
– потенциальная энергия сил упругости и сил тяжести 
силу Q через потенциальную энергию П системы. Тогда исходным
уравнением будет
       d ⎛ ∂Τ ⎞ ∂Π      ∂Π
          ⎜ ⎟−       =−    .
       dt ⎝ ∂ϕ& ⎠ ∂ϕ    ∂ϕ
      2. Определим кинетическую энергию системы, равную сумме
энергий всех тел:
       Τ = Τ1 + Τ2 + Τ4 .
      Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей О1 и О2, а груз 4
                                         1             1             1
движется поступательно, то Τ1 =            I1ω12 , Τ2 = I 2ω22 , Τ4 = m4v42 , где
                                         2             2             2
     m1R12        m1R22
I1 =       , I2 =       – осевые моменты инерции.
       2            2
      Все скорости, входящие в выражения кинетических энергий выразим
                                                R
через обобщенную скорость ϕ& : ω1 = ϕ& , ω2 = ϕ& 1 , v4 = r1ϕ& .
                                                r2
      Выражение для кинетической энергии системы примет вид

                   1 m1R12 2 1             1 ⎛ m R2 m R2R2            ⎞
              Τ=          ϕ& + m4 r12ϕ& 2 = ⎜⎜ 1 1 + 2 22 1 + m4 r12 ⎟⎟ϕ& 2 .
                   2 2        2            2⎝ 2       2r2             ⎠
      Учитывая, что r1 = 0,2 м, R2=0,5 м, r2 = 0,3 м, получим
            1
       Τ=     (0,08m1 + 0,22m2 + 0,04m4 )ϕ& или Τ = 1 a0ϕ& ,
            2                                       2
где a0 = 0 ,08m1 + 0 ,22m2 + 0 ,04m4 .
      Определим производные, входящие в уравнение Лагранжа
       ∂Τ            ∂Τ      d ⎛ ∂Τ ⎞
           = a0 ϕ& ,    = 0,    ⎜ ⎟ = a0 ϕ
                                         && .
       ∂ϕ&           ∂ϕ      dt ⎝ ∂ϕ& ⎠
      3. Определим потенциальную энергию системы Π = Π CT + Π СУ , где

П СУ , П CT – потенциальная энергия сил упругости и сил тяжести




                                         164

Страницы