Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

162
дифференциального уравнения, которое следует искать в таком же виде,
который имеет правая часть. Так как правая часть уравнения представляет
собой константу, будем искать решение
х
2
в виде
Ax =
2
. Подставив
значение функции
Ax =
2
и ее второй производной
0
2
=
x
&&
в уравнение,
получим
A = a/k
2
. Таким образом, общее решение неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид
2
21
sincos
k
a
ktCktCx ++=
,
где
C
1
и
C
2
– постоянные интегрирования.
Для их определения найдем еще производную
x
&
:
(
)()
ktkCktkCx sincos
21
−
=
&
.
Поскольку движение начинается из состояния покоя и пружина в
этот момент не деформирована, начальными условиями этого движения
будут:
0
0
=t
,
0
0
=
x
,
0
0
=
x
&
. Подставляя эти величины в уравнения закона
движения и закона изменения скорости, найдем
С
1
= 0,
С
2
=
а/k
2
.
Окончательно получим искомую зависимость
x = f(t)
в виде
()
ktcos
k
a
x −= 1
2
,
Таким образом, центр
D
катка совершает по отношению к
поверхности колебания. Круговая частота
k
и период τ этих колебаний:
P
cg,
k ⋅=
3
56
;
cg.
P
k 56
3
2
2
π=
π
=τ
. 
дифференциального уравнения, которое следует искать в таком же виде,
который имеет правая часть. Так как правая часть уравнения представляет
собой константу, будем искать решение х2 в виде x2 = A . Подставив

значение функции x2 = A и ее второй производной &x&2 = 0 в уравнение,

получим A = a/k2. Таким образом, общее решение неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид
                                     a
      x = C1 cos kt + C2 sin kt +       ,
                                     k2
где C1 и C2 – постоянные интегрирования.
      Для их определения найдем еще производную x& :

      x& = C1k cos(kt ) − C2 k sin (kt ) .

      Поскольку движение начинается из состояния покоя и пружина в
этот момент не деформирована, начальными условиями этого движения
будут: t0 = 0 , x0 = 0 , x&0 = 0 . Подставляя эти величины в уравнения закона

движения и закона изменения скорости, найдем С1 = 0, С2 = а/k2.
      Окончательно получим искомую зависимость x = f(t) в виде
           a
      x=
               2
                   (1 − cos kt ) ,
           k
      Таким образом, центр D катка совершает по отношению к
поверхности колебания. Круговая частота k и период τ этих колебаний:

               6,5 cg      2π       3P
      k=          ⋅   ; τ=    = 2π       .
                3 P         k      6.5cg




                                             162

Страницы