Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

161
случае
xs
D
δ
=
δ
,
0=
δ
K
s
. Элементарную работу совершают только силы
5
P
и
F
. Учитывая, что
PP 4
5
=
и
cxF
=
, получим
xFxPA δ−δ=δ
o
30sin
52
или
(
)
xcxPA
δ
−
=
δ
2
2
.
Коэффициент δ
x
будет искомой обобщенной силой
cxPQ −= 2
2
.
С учетом найденных производных и обобщенных сил уравнения
Лагранжа примут вид:
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=+ϕ−
−=−ϕ
;266
;656
cxPxR
g
P
PRxR,
g
PR
&&
&&
&&
&&
или
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+ϕ−
−=−ϕ
.x
P
cg
gxR
gxR,
266
;656
&&
&&
&&
&&
4. Для определения
x = f
(
t
) исключим из уравнений
ϕ
&&
: выразим
ϕ
&&
из
первого уравнения
R,
gx
56
6
−
=ϕ
&&
&&
и подставим это значение во второе
уравнение.
Второе уравнение примет вид:
x
P
cg
gx
R,
gx
R −=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
− 26
56
6
6
&&
&&
.
После ряда преобразований
получим
gx
P
cg
,x 7563 =+
&&
или
gx
P
cg,
x
3
7
3
56
=+
&&
.
Введем обозначения
2
3
5,6
k
P
cg
=⋅
,
ag =
3
7
.
Таким образом, уравнение приведено к виду
axkx =+
2
&&
.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
ищется в виде
x = x
1
+ x
2
, где
(
)
(
)
ktCktCx cossin
211
+
=
– общее решение
однородного уравнения
0
2
=+
x
k
x
&&
,
x
2
– частное решение 
случае δsD = δx , δsK = 0 . Элементарную работу совершают только силы

P5 и F . Учитывая, что P5 = 4 P и F = cx , получим

      δA2 = P5 sin 30o δx − Fδx или δA2 = (2 P − cx )δx .

      Коэффициент δx будет искомой обобщенной силой Q2 = 2 P − cx .

      С учетом найденных производных и обобщенных сил уравнения
Лагранжа примут вид:

      ⎧ PR
      ⎪⎪ g (6 ,5Rϕ&& − 6 &x&) = − PR;       ⎧6 ,5 Rϕ
                                            ⎪
                                                   && − 6 &x& = − g ;
       ⎨                                или ⎨                         cg
          P
       ⎪ (− 6 Rϕ                              − 6 Rϕ
                                                   && + 6 &x& = 2 g −    x.
                && + 6 &x&) = 2 P − cx;     ⎪
                                            ⎩                         P
       ⎪⎩ g

      4. Для определения x = f(t) исключим из уравнений ϕ
                                                        && : выразим ϕ
                                                                     && из
                                6 &x& − g
первого уравнения ϕ
                  && =                      и подставим это значение во второе
                                 6 ,5 R
уравнение.

                                           6 &x& − g
      Второе уравнение примет вид: − 6 R⎛⎜                  ⎞        cg
                                                     + 6 &x&⎟ = 2 g − x .
                                         ⎝ 6,5 R            ⎠        P

      После ряда преобразований получим
                    cg                   6 ,5 cg   7
      3&x& + 6 ,5      x = 7 g или &x& +         x= g.
                    P                     3 P      3
                                   6,5 cg       7
      Введем обозначения              ⋅   = k2 , g = a .
                                    3 P         3

      Таким образом, уравнение приведено к виду &x& + k 2 x = a .

      Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
ищется в виде x = x1 + x2 , где x1 = C1 sin (kt ) + C 2 cos(kt ) – общее решение

однородного           уравнения        &x& + k 2 x = 0 ,   x2   –    частное   решение




                                               161

Страницы