Теоретическая механика для студентов ФИТО. Смогунов В.В - 159 стр.

          m1R12
где I O =       – момент инерции барабана 1 относительно оси вращения,
           2

       m5 R52
ID =            – момент инерции катка 5 относительно оси вращения,
         2
проходящей через центр масс катка.

                     P P        P 4P              PR 2        2 PR 2
       Поскольку m1 = 1 = и m5 = 5 =   , то I O =      и ID =        .
                      g g        g   g            2g             g

       Все входящие в выражение для кинетической энергии системы
скорости надо выразить через обобщенные скорости ϕ& и x& .

       Очевидно, что ω1 = ϕ& . Для определения vD рассмотрим движение

катка как сложное. Учитывая, что х определяет положение точки D по
отношению         к    концу        недеформированной       пружины,    получим
vD = vDот + v Dпер , где численно vDот = x& ,    vDпер = Rϕ& . Тогда, принимая во

внимание, что при возрастании φ и х скорости vDот и vDпер направлены в

разные стороны и что точка Е для катка – мгновенный центр скоростей,
получим
                               v D x& − Rϕ&
        vD = x& − Rϕ& , ω5 =      =         .
                               ED      R
       Подставляя в выражение для кинетической энергии системы все
найденные значения скоростей и значения моментов инерции I O и I D ,

получим окончательно следующее выражение для Т:

                                                                2
           1 PR 2 2 1 4 P                      2
                          (x& − Rϕ& )2 + 1 2 PR ⎛⎜ x& − Rϕ ⎞⎟
                                                         &
        Τ=       ϕ& +
           2 2g       2 g                2 g ⎝ R ⎠




                                           159