Составители:
103
(например, когда мы имеем дело с множественными значениями или с
вертикальными касательными), они непригодны для непосредственно-
го генерирования точек на кривых. Для определения точек пересечения
кривых в этой форме необходимо прибегать к численным методам. Су-
ществует еще один способ построения прямых и кривых, при котором
координаты х и у считаются равноправными: это уравнения параметри-
ческого вида.
Координаты х и у представляются в виде функций от некоторого
вспомогательного параметра t, т. е. x = x(t), у = у (t).
Определение. Параметрически заданной кривой называется
множество ϕ точек М(x, y, z), координаты x, y, z которых определяются
соотношениями:
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
a≤ t ≤ b (4.10)
где x (t), y (t), z (t) – функции, непрерывные на отрезке [a, b].
Соотношения (4.10) называются параметрическими уравнениями кри-
вой ϕ.
Без ограничения общности можно считать, что
a = 0 и b = 1; этого
всегда можно добиться при помощи замены вида
,
ta
U
ba
−
=
−
переводящей {[a,b], t} в {[0,1], u}.
Полезна векторная форма записи параметрических уравнений
r = r (t), 0 ≤ t ≤ 1, (4.11)
где r (t) = (x (t), y (t), z (t)).
Параметр t задает ориентацию параметризованной кривой y (пара-
метр прохождения точек при монотонном возрастании параметра).
Например, параметрическим способом окружность х
2
+у
2
–1 = 0 запи-
сывается в виде уравнений
cos ,
sin ,
xt
yt
=
⎧
⎨
=
⎩
(4.12)
где t принимает значения в интервале 0 = t < 2π (рис. 4.9). Хотя обычно
нужно указывать область изменения параметра t, это может стать пре-
имуществом, если наша цель – описать сегмент кривой. Например, па-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
