Составители:
105
Распространенной формой представления кривых является их
представление в форме полиномов. Кроме аспектов, связанных с вы-
числительной устойчивостью алгоритмов построения кривых с ис-
пользованием полиномов, этот вид построения кривых имеет несом-
ненные преимущества чисто с геометрической точки зрения. В част-
ности, полиномы Бернштейна, реализованные в форме кривых Безье
[7], позволили при синтезе кривых и поверхностей решить ряд тре-
бований эстетики.
Произвольный полином степени n в форме Бернштейна определяет-
ся уравнением:
() ()
0
, 0,1,2, ..., , ,
n
nn
ii
i
pu f B u i n n N
=
==∈
∑
(4.15)
где
n
i
f
– коэффициенты Бернштейна;
()
n
i
Bu
– скалярные функции Бер-
нштейна.
Коэффициенты
n
i
f
могут быть скалярными значениями некоторой фун-
кции f(u), вычисленными на некотором отрезке 0 ≤ u ≤ 1 для равноотстоя-
щих точек. Тогда полином p(u) аппроксимирует функцию f(u) при доста-
точно больших n. Если заменить скалярные коэффициенты
n
i
f
произволь-
ными векторами r
i
, то в этом случае полином p(u) аппроксимирует лома-
ную, вершинами которой является заданный набор векторов r
i
, и опреде-
ляет на заданном отрезке 0 ≤ u ≤ 1 дугу кривой Безье n-го порядка. Изменяя
положение векторов, можно управлять формой дуги кривой.
Скалярные функции
()
n
i
Bu
определяются уравнениями
()
()
()
[]
!
1 , 0,1,2, ..., , 0,1 ,
!
n i
n i
i
n
Bu u u i n u
tni
−
=−=∀∈
−
(4.16)
и образуют так называемый базис Бернштейна для множества всех по-
линомов степени не выше n на отрезке [0,1].
Пример 4.1
Кривые Бернштейна
Кривые Бернштейна разных порядков, полученные по уравнениям
(4.15), (4.16):
– кривая первого порядка: p(u) = p(1–u)p
0
+up
1
– суть прямая со
стандартной равномерной параметризацией;
– кривая второго порядка: p(u) = (1–u)
2
p
0
+2u(1–u)p
1
+u
2
p
2
– пара-
бола.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
