Математическое обеспечение информационных технологий. Непрерывные системы. Сольницев Р.И - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

49
2. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ В СИСТЕМАХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
2.1. Статические системы
Одной из распространенных форм математических моделей систем
являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ),
представляющих частный случай (1.3):
Y
= F(Y, t). (2.1)
В задачах анализа часто приходится определять статические ха-
рактеристики исследуемого объекта, например характеристики дви-
жения механических систем с постоянной скоростью, токи и напря-
жения электрических схем в установившемся режиме. Математичес-
ки это выражается отсутствием в (2.1) производных от Y:
F(Y, t) = 0. (2.2)
При отсутствии зависимости коэффициентов модели от времени,
анализ ММ сводится к решению системы нелинейных алгебраических
уравнений:
F(Y) = 0. (2.3)
Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений (2.3)
чаще всего используют два метода – метод простых итераций и метод
Ньютона.
Метод простых итераций реализуется следующим алгоритмом вы-
числений приближения Y
(k)
корня j-го уравнения системы к точному
решению Y
(n)
:
() ( 1) () ( 1)
, 1, ,
kk k k
Fkn
−−
⎡⎤
=+ =
⎣⎦
YY H Y
(2.4)
где Y
(k)
–
некоторое приближение к “точному” решению – значение Y
j
на
k-й итерации; n – общее количество итераций, выполняемых для дости-
жения заданной точности; k – текущий номер итерации; H – диагональ-
ная матрица с коэффициентами h на диагонали.
Итерационная формула метода Ньютона применительно к системе
уравнений (2.3) выглядит следующим образом:
() ( ) ( ) ()
1
11 1
,
kk k k
YY W Y
−
−− −
⎡⎤
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
F
(2.5)

Страницы