Составители:
62
Классические методы численного интегрирования дифференциаль-
ных уравнений восходят к Эйлеру (XVIII в.), Адамсу (вторая половина
XIX в.). Появление ЭВМ и бурное их развитие для решения широкого
круга задач науки и техники потребовало переоценки классических ме-
тодов численного интегрирования, их машинной ориентации и разра-
ботки новых, собственно машинных методов, учитывающих специфи-
ку ЭВМ. Машинная ориентация классических численных методов со-
стоит в распространении этих методов на системы уравнений большой
размерности, автоматизации операций реализации методов на ЭВМ,
выборе наиболее подходящего метода для решения конкретной задачи и
величины шага в этом методе.
Аналитико-численные методы, основанные на классическом разло-
жении правых частей в степенные ряды Тэйлора в аналитической фор-
ме, обычно исключаются из практического применения ввиду необхо-
димости вычислений производных функций порядка n > 1. Однако при-
менение средств аналитических преобразований на ЭВМ позволяет для
ряда ММ «заготавливать» эти производные в аналитическом виде, что
принципиально изменяет численные методы на степенных разложени-
ях, делает их эффективными. В соответствии с отмеченными обстоя-
тельствами рассмотрим построение таких методов на основе разложе-
ния Тэйлора.
Будем искать решения y(t) в форме ряда
00 0
1
,,
k
k
k
yataaY
∞
=
=+=
∑
(2.26)
сходящегося на промежутке 0 ≤ t ≤ R. В этом случае решение сводится к
нахождению неопределенных коэффициентов a
k
. Для их нахождения
подставим (2.26) в (2.25), предварительно разложив f(y,t) в ряд Тэйлора
относительно точки t = 0, y = y
0
:
() ()
() ()
2
12
00
2
1
22
2
00
2
1
0,
2!
11
.
2! 2!
k
k
k
ff f
ka t f y t y y t
tt
t
ff
yy yyt
yt
y
∞
−
=
∂∂ ∂
=++−+ +
∂∂
∂
∂∂
+−+−+
∂∂
∂
∑
…
Приравнивая в этом разложении коэффициенты при одинаковых сте-
пенях t, найдем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
