Составители:
66
Построение численных методов, в которых переход от
y
j
(t) к
y
(t
j+1
)
не требовал бы вычисления производных от правых частей в (2.25),
основано на идее Рунге. Принцип построения таких формул численно-
го интегрирования можно усмотреть из геометрических построений (рис.
2.5, б, в). Продолжая этот процесс и организуя комбинации k
i
(h) для
нескольких точек внутри промежутка t
j+1
– t
j
, запишем общую формулу
этой группы численных методов:
()
1
1
,
n
jj ii
i
yy bkh
+
=
=+
∑
где
() () () ()
11 2 2 , 1 1
,.
ijijii iii
k h hf t h y k h k h k h
−−
⎡⎤
=+α+β +β ++β
⎣⎦
…
(2.28)
Из формулы (2.28) при различных значениях α
j
β
j
получим как част-
ные случаи известные формулы численного интегрирования Рунге-Кутты
разного порядка точности:
первого порядка –
() ()
()
111
,,
jj jj
yykhkhhfyt
+
=+ =
– метод Эйлера;
второго порядка –
() ()
112
1
;
2
jj
yy khkh
+
=+ +
⎡⎤
⎣⎦
() ()
()
21
,
jj
kh hfy khht h
=+ +
– метод
Эйлера – Коши;
()
122 1
,,
22 2 2
jj j j
hh h h
yyk k hfykht
+
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
=+ = + +
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠
– усовершен-
ствованный метод Эйлера;
четвертого порядка –
() ()
()
11234
32
43
1
22 ,
622
,,
2222
,.
2
jj
jj
jj
hh
yy khk k kh
hhhh
khfykt
h
k h hf y hk t h
+
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+ + + +
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
