Математическое обеспечение информационных технологий. Непрерывные системы. Сольницев Р.И - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

67
Точность представления y на одном шаге в каждой формуле оцени-
вается остаточным членом разложения функции ϕ(h) в ряд Тейлора:
()
()
()
()
1
1
0.
1!
r
r
h
th
r
+
+
ϕθ
ϕ=
+
Величина r в этом уравнении называется порядком точности мето-
да, или степенью метода. Важно сразу же отметить, что выбор шага h,
исходя из заданной точности на одном шаге, не гарантирует требуемой
точности конечного результата!
Следующая группа методов численного интегрирования, основан-
ная на идеях Адамса, строится на основе аппроксимации подынтеграль-
ной функции в формуле Ньютона – Лейбница:
()
1
1
,
j
j
t
jj
t
yy ytdt
+
+
=+
∫
(2.29)
известным полиномом. Эта формула получена после интегрирования
уравнения (2.25) на промежутке t
j
–t
j+1
. Если в качестве такого полино-
ма выбирать полином Ньютона, то
()
yt
можно представить в виде
()
()()( )
01 2 1
.
jjj
yt a a t t a t t t t
−
=+ −+ − − +
…
(2.30)
Задавая предыдущие значения
y
′
(t
j
),
y
′
(t
j–1
),
y
′
(t
j–2
),... (предпола-
гается, что они вычислены заранее), вычисляем неизвестные коэффи-
циенты
()
()()
1
01
,,
jj
j
yt yt
ayta
h
−
−
==

…
, где h = |t
j
– t
j+1
|. (2.31)
Подставляя (2.31) в (2.30), после интегрирования получим
()() ()
()() () ()
1
221
25
,
212
jjj
jj j j
yt yt hyt
yt yt h yt yt h
+
−−−
=+ +
⎡⎤⎡ ⎤
−−
⎣⎦⎣ ⎦
++ +

или в общем виде
() () ()
()
1
1
0
0 .
n
i
jjiji
i
yt yt h byt h
+
+−
=
=+ +
∑
…
(2.32)

Страницы