Составители:
68
Методы типа (2.32) называют также многошаговыми в отли-
чие от одношаговых (2.28), поскольку для получения
1j
y
+
необходимо
предварительно вычислить n предыдущих значений
j
y
.
Очевидным недостатком методов этого типа является необходимость
предварительного вычисления «разгонных» значений
y'
(t
j+1
).
Методы (2.28), (2.32) реализованы в виде стандартного программно-
го обеспечения современных ЭВМ.
Применимость методов (2.28), (2.32) тесно связана с выбором шага
h в формулах численного интегрирования. В случае одного уравне-
ния (2.25) значение h выбирается из соображений точности на одном
шаге, и оно же обеспечивает устойчивость вычислительного про-
цесса. Когда же рассматривается система уравнений (1.3), то именно
устойчивость разностных уравнений (2.28), (2.32) ограничивает шаг.
Наибольшие шаги, обеспечивающие устойчивость разностной схе-
мы, или, как их обычно называют, критические шаги, различают для
разных методов. Так, например, если собственные значения вычис-
ленной в данной точке t = t
*
матрицы Якоби системы (1.3) веще-
ственны, то критический шаг выбирается из соотношения
max
,
r
h ≤
λ
где λ
max
– максимальное собственное значение; r – число, зависящее от
метода. Для метода Рунге-Кутты четвертой степени оно равно 2,78, для
методов Эйлера и Эйлера-Коши – 2 и для метода Адамса четвертой сте-
пени – 0,3. Причем даже незначительное увеличение h против допусти-
мого приводит к потере вычислительной устойчивости, «взрыву по-
грешностей».
В приведенном далее примере эта особенность численного интегри-
рования прослеживается в явном виде.
Пример 2.5
Численное интегрирование дифференциального уравнения
()
4
0п.п
10 , 0 , 0 1 c.
t
yyeyytt
−
=− + = ≤ < =
(2.33)
Применим метод Эйлера и положим
п.п
1
t
h
n
=
, тогда
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
