Математическое обеспечение информационных технологий. Непрерывные системы. Сольницев Р.И - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

83
3. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ В СИСТЕМАХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
3.1. Краевая задача и ее дискретные аналоги
Проектирование многих технических объектов связано с необходи-
мостью анализа непрерывных физических процессов, математическим
описанием которых являются системы с распределенными параметра-
ми, представляемые дифференциальными уравнениями в частных про-
изводных. Примером тому служат задачи определения прочности узлов
и элементов конструкций летательных аппаратов при различных видах
нагрузки, задачи анализа тепловых режимов в технических системах,
задачи анализа распределения электрического поля в полупроводнико-
вых приборах и др.
В подразд. 1.1 была приведена классификация ММ в виде диффе-
ренциальных уравнений в частных производных, общий вид которых
представлен уравнением (1.25). Как было отмечено, универсальных ал-
горитмов их решения нет. Методы решения разработаны только для кон-
кретных типов уравнений [6].
Рассмотрим, в частности, уравнение нестационарной теплопро-
водности физического тела, сформированное на базе известных фи-
зических законов:
(),
TT T T
CK K KQx
tx x y y z z
⎛⎞
∂∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
=+++
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
(3.1)
где x, y, z – координаты; t – время; C – теплоемкость вещества; K –
теплопроводность вещества; Q – тепло, выделяемое источником. C и K
в общем случае величины не постоянные.
Если вещество, из которого состоит тело, таково, что теплоемкость
C и теплопроводность K одинаковы во всех точках тела и не зависят от
температуры, а также внутри тела отсутствуют источники тепла, то урав-
нение (3.1) примет вид
222
222
,
TKTTT
tC
xyz
⎛⎞
∂ ∂∂∂
=++
⎜⎟
∂
∂∂∂
⎝⎠
или
,
TK
T
tC
∂
=∆
∂
(3.2)
где K/C – коэффициент теплопроводности тела; ∆Т – оператор Лапласа.

Страницы