Составители:
84
Для случая, когда T(t) = const, ∂T/∂t = 0, т. е. когда температура посто-
янна, получим уравнение стационарной теплопроводности
0,T∆=
(3.3)
Уравнение (3.3) называется уравнением Лапласа. Уравнение (3.2) отно-
сится к эллиптическому типу уравнений в частных производных (1.26).
Пример 3.1
Расчет температуры нагревания стержня
Пусть имеется стержень длиной L, площадь его поперечного сече-
ния S. Один конец стержня жестко закреплен, и к нему подводится теп-
ловой поток q заданной интенсивности. На свободном конце стержня
происходит конвективный теплообмен с внешней средой. Известны ко-
эффициенты теплообмена a и температура окружающей среды T. Вдоль
боковой поверхности стержень теплоизолирован. Необходимо рассчи-
тать температурное поле в стержне, которое описывается уравнением
теплопроводности для одномерного случая:
2
2
0.
KT
C
x
⎛⎞
∂
=
⎜⎟
∂
⎝⎠
Краевые условия определяются уравнениями
(K/C)
х = 0
(dT/dx) + q = 0 при х = 0,
(K/C)
х = L
(dT/dx) + a(T – T
0
) = 0 при x = L.
Искомое температурное поле T(x) является непрерывной функцией
координаты x. Таким образом, чтобы получить искомое решение, необ-
ходимо решить заданное уравнение с учетом краевых условий.
Как известно, уравнения в частных производных, как и другие диффе-
ренциальные уравнения, описывают процессы, происходящие в исследуемых
объектах проектирования неоднозначно, поэтому для их решения необходи-
мо иметь дополнительные условия (или ограничения) для функций, входя-
щих в состав ММ. Если же заданы краевые и начальные условия, то имеется
возможность однозначного решения определенных типов уравнений. Со-
вокупность уравнения и краевых условий называют краевой задачей.
Краевые условия и соответственно краевые задачи могут быть раз-
личных типов:
1) если явно заданы функции, описывающие процессы на границах
исследуемых областей, полученная краевая задача называется задачей
Дирихле, или первой краевой задачей;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
