Математическое обеспечение информационных технологий. Непрерывные системы. Сольницев Р.И - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

86
функции f(x,y,z) некую сеточную функцию f
n
(x
i
, y
j
, z
k
), построенную на
сетке с шагом h
1
по оси x, с шагом h
2
по оси y и с шагом h
3
по оси z:
f(x,y,z) → f
n
(x
i
, y
j
, z
k
),
где i = 1,..., n
1
, j = 1,..., n
2
, k = 1,..., n
3
; n
1,
, n
2
, n
3
– количество узлов сетки
соответственно по осям x, y, z.
Сеточная функция представляет собой конечный набор значений
в узлах сетки. Такая функция может храниться в виде массива в па-
мяти ЭВМ. В качестве сеточных рассматриваются как известные фун-
кции краевой задачи, так и неизвестные, или подлежащие определе-
нию наборы значений этой функции в конечном числе узлов сетки.
Далее необходимо перейти к дискретным алгебраическим выраже-
ниям – аналогам уравнений в частных производных и краевых условий.
Поскольку в исходной постановке краевой задачи есть операция диф-
ференцирования, необходимо построить аналоги этих операций на сет-
ке, т. е. найти алгебраические соотношения, которые приближенно опи-
сывают операции дифференцирования.
Формулы, выражающие приближенно значение производных в уз-
лах сетки через значения сеточной функции, называются формулами
численного дифференцирования. Существуют разные способы по-
лучения формул численного дифференцирования. Наиболее распро-
страненные из них – аппроксимация функции путем построения ин-
терполяционных многочленов и разложения функции в ряд Тейлора.
Рассмотрим построение формул численного дифференцирования в
узлах сетки по первому способу для характерного случая.
Предположим, что некоторую область заданной функции f(x) можно
интерполировать с помощью функции Y(х):
2
.Yax bxc=++
Для решения задачи используем сетку с шагом h и запишем значение
функции в трех ее точках: i, i–1 и i+1:
2
1
2
22
1
()() ,
,
()() .
ii i
ii i
iii
ax h bx h c y
ax bx c y
ax h bx h c y
−
+
⎧
−+ −+=
⎪
⎪
++=
⎨
⎪
++ ++=
⎪
⎩
Вычислим производную y
i,
используя второе уравнение полученной
системы, и, считая h малой величиной. Заменим оператор дифференци-

Страницы