Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Солнышкин Н.И - 13 стр.

  Пусть требуется составить уравнения состояния и уравнения для выходных
переменных тока i 3 и напряжения u r1 с помощью законов Кирхгофа для
послекоммутационной схемы рис. 3-1.
  Выбираем за переменные состояния ток в индуктивности i1 и напряжение на емкости
u C2 .
а) Записываем уравнения по законам Кирхгофа

                  r1         L1                                  i1 = i 2 + i 3 ,
         i1
                                                                            di1
                                       i2            i3          r1i1 + L         + u C 2 = e,
                                                                            dt
              e                                                  u C2   = r3i 3 ,
                                            C2       r3
                                                                               du C 2
                                                                 i2 = C2                .
                                                                                dt
               Рис. 3-1
Из этой системы уравнений получаем уравнения в нормальной форме:
                              du C 2        1          1
                                     =−         u C2 +    i1 ;
                                dt       r3 C 2        C2
                              di1     1            r      1
                                  = − u C 2 − 1 i1 + e
                              dt      L1          L1      L
или в матричной форме:
                                                  ⎡ 1                   1 ⎤
                                                    −                                     ⎡0⎤
                                        ⎡u& C 2 ⎤ ⎢ r3 C 2              C 2 ⎥ ⋅ ⎡u C2 ⎤ + ⎢ 1 ⎥ e
                                        ⎢ &i ⎥ = ⎢ 1                        ⎥ ⎢ ⎥
                                                                        r1 ⎥ ⎣ i1 ⎦ ⎢ L ⎥
                                        ⎣ 1 ⎦ ⎢ −                                         ⎣ 1⎦
                                                  ⎢⎣ L                  L ⎥⎦
или X& = A1X+ B1V,
б) Формируем уравнения по вспомогательной схеме. На схеме L-элемент заменен
              i1                источником тока i1(t), а C - элемент – источником
   i1   r1                      напряжения uC2(t). Требуется тем или иным методом
                   i2       i3  получить выражение для iC(t) и uL(t). Используя
                                метод наложения и 2 - ой закон Кирхгофа получаем:
    e                 UC2   r3         uC
                                i 2 = − 2 + i1 ,
                                        r3
                                                                 u C2
                  Рис. 3-2                                i3 =           ,
                                                                   r3
                                                          r1i 1 + u L + u C 2 = e.
Таким образом:
                              di 1 u L e − r1i1 − u C 2    1        r     1
                                  =    =                = − u C 2 − 1 i1 + e
                              dt    L1       L1            L1      L1     L
                                                     u C2
                                                 −          + i1
                              du C 2   i              r3                       1          1
                                     = 2 =                         =−              u C2 +    i1
                                  dt  C2               C2                    r3C 2        C2
Уравнения выходных величин имеют вид

                                                                        13