Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.3. Если
(
)
tF
X
непрерывна, то при 0>z и
∞
→n
{
}
()
zKzDnP
n
→< .
В этой теореме
()
zK – так называемое распределение Колмогорова, которое имеет свойство
(
)
1lim
=
∞→
zK
z
.
Из теоремы 3.3 получаем, что с вероятностью
α
−
=
1p выполняется неравенство
() ()
1
,
ˆ
Rt
n
z
tFtF
XX
∈∀≤−
α
,
где
α
z – соответствующая критическая граница распределения Колмогорова. Последнее неравенство, очевидно, может вы-
полнять роль доверительного интервала для
(
)
tF
X
. Например, при 05,0
=
α
() () ()
n
tFtF
n
tF
XXX
358,1
ˆ
358,1
ˆ
+≤≤−
.
Существуют и другие меры уклонения
()
tF
X
ˆ
от
(
)
tF
X
, например, мера Мизеса.
3.13. Оценка функции плотности распределения
Плотность распределения также может быть оценена, причем несколькими способами:
1. Гистограмма. Находят
min
x и
max
x – минимальный и максимальный элементы выборки. Интервал
[]
maxmin
, xx , длина
которого называется размахом выборки, делят на
k подынтервалов одинаковой длины
k
xx
minmax
−
=∆
.
Рекомендуется, согласно известной формуле Стерджеса, принимать
(
)
nk ln322,31
⋅
+
=
,
так как здесь имеется ввиду ближайшее целое число.
Далее, находят величины
i
ν – количество элементов выборки, попадающих в i-й подынтервал
()
1,0),1,[
minmin
−=+∆+∆+ kiixix .
Затем над каждым таким интервалом строят прямоугольник высотой
n
h
i
i
ν
=
,
где n – объем выборки (рис. 3.4).
2. Полигон частот – это ломаная, соединяющая середины соседних ступеней гистограммы. Если с.в.
непрерывна, то
полигон частот лучше оценивает плотность распределения.
Известна теорема, дающая оценку точности аппроксимации плотности посредством полигона частот.
Рис. 3.4.
Теорема 3.4. (Смирнова). Для любого
()
Rba ∈,

Страницы