ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
() ()
()
z
e
bxa
n
e
n
z
xP
xPxP
P
−
−
≤≤
→∞
=
∆
λ
+λ
<
−
2
ˆ
maxlim
,
где λ – решение уравнения
()
4
2
1
2
1
n
−=λΦ ,
()
xP – теоретическая плотность распределения.
3.14. Метод моментов
Рассмотренные выше точечные оценки параметров строились эвристически и лишь затем доказывалось, что они дейст-
вительно являются оценками интересующих нас параметров. Оказывается имеются регулярные методы построения стати-
стических оценок. Одним из них является метод моментов.
Определение 3.20. Пусть с.в.
X
имеет плотность распределения
(
)
xP , тогда величины
()
∫
∞
∞−
= dxxPxm
k
k
,
()()()
∫
∞
∞−
−= dxxPXMxd
k
k
называются, соответственно, теоретическими начальными и центральными моментами k -го порядка.
Отметим, что математическое ожидание является начальным моментом первого порядка, а дисперсия – центральным
второго.
Определение 3.21. Пусть имеется выборка
n
xxx ...,,,
21
значений с.в.
X
. Тогда величины
n
x
m
n
i
k
i
k
∑
=
∧
=
1
,
()
n
Xx
d
n
i
k
i
k
∑
=
∧
−
=
1
называются, соответственно, выборочными начальными и центральными моментами k -го порядка.
Пусть
()
γ
,xP – плотность распределения с.в.
X
,
γ
– неизвестный параметр этой плотности. Достаточно часто теоре-
тические моменты могут быть выражены явно через неизвестный параметр
γ
. Идея метода моментов состоит в приравнива-
нии теоретических и выборочных моментов. Решая соответствующие уравнения и получают искомую оценку неизвестного
параметра. Если неизвестных параметров несколько, то приравнивая несколько моментов получают целую систему уравне-
ний, которую также достаточно часто удается разрешить относительно оцениваемых параметров. Полученные таким обра-
зом статистические оценки называют оценками метода моментов.
Пример.
1. Пусть
X
равномерно распределена на отрезке
[
]
Rdc
∈
, . Ясно, что dc, являются параметрами данного распределе-
ния. Построим для них оценки, используя метод моментов.
Ранее мы видели, что для равномерного распределения
()
,
2
dc
XM
+
=
()
()
12
2
cd
XD
−
=
.
Приравнивая
()
XM и
()
XD с соответствующими выборочными моментами получаем систему уравнений
()
=
−
=
+
,
~
12
,
2
2
2
S
cd
X
dc
решая которую находим
+=
−=
.
~
3
,
~
3
SXd
SXc
Полученные равенства и являются оценками метода моментов искомых параметров.
2. Аналогично для нормального распределения получаем систему
=σ
=
,
~
,
22
S
Xa
которая в целом соответствует полученным ранее оценкам. Однако видим, что оценка дисперсии получилась смещенной. Это
происходит часто и при использовании других методов построения оценок и не считается серьезным недостатком, так как сме-
щенные оценки обычно удается «исправить».
Достоинством метода моментов является его относительно простая вычислительная реализация. Важнейшим недостат-
ком – неоднозначность получения оценок. Приравнивая различные моменты мы, вообще говоря, можем получить различные
оценки для одних и тех же параметров. Кроме того, оценки метода моментов часто менее эффективны, чем некоторых дру-
гих методов, например, следующего.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
