ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.9. Доверительный интервал для дисперсии
нормального распределения
Пусть опять с.в.
()
2
,~ σaNX и имеется выборка ее значений
n
xxx ...,,,
21
.
Рассмотрим вопрос построения доверительного интервала для ее дисперсии. Опять разберем два случая:
1.
a
– известно, тогда
)(~
2
2
2
2
n
axS
n
n
ia
χ
σ
−
=
σ
∑
,
поскольку
()
1,0~ N
aX
i
σ
−
.
Тогда с вероятностью
α
−=1p выполняется неравенство
)()(
2
2
2
2
2
21
n
Sn
n
a
αα−
χ≤
σ
≤χ ,
где
)(),(
2
21
2
2
nn
α−α
χχ
– соответствующие односторонние критические границы распределения Пирсона. Отсюда и получаем
требуемый доверительный интервал уровня и значимости
α
, для истинного значения σ
2
)()(
2
21
2
2
2
2
2
n
nS
n
nS
aa
α−α
χ
≤σ≤
χ
.
2. a – неизвестно, тогда, по теореме 3.2
)1(~)1(
2
2
2
−χ
σ
− n
S
n .
И, аналогично, доверительный интервал с уровнем доверия р = 1 – α имеет вид
)1(
)1(
)1(
)1(
2
2/1
2
2
2
2/
2
−χ
−
≤σ≤
−χ
−
α−α
n
Sn
n
Sn
.
3.10. Доверительный интервал для генеральной доли признака
При достаточно большом количестве наблюдений (считается, что при 20≥n ) на основании центральной предельной
теоремы, можно считать, что выборочная доля
n
m
w =
имеет распределение, достаточно близкое к нормальному, параметры которого были указаны в п. 3.5.
Тогда, например, для повторной выборки, с вероятностью
α
−
1 , выполняются неравенства
2/2/
/
αα
≤
−
≤− u
nqp
pw
u ⇒
() ()
n
pp
uwp
n
pp
uw
−
+≤≤
−
−
αα
11
2/2/
.
Последнее из них дает границы искомого доверительного интервала в неявном виде. Для их явного выражения решаем
соответствующее квадратное уравнение
()()
(
)
n
pp
upw
−
=−
α
1
2
2/
2
.
Откуда получаем, что эти границы задаются выражениями
()
+
−
±+
+
=
α
α
α
α
2
2/
2/
2
2/
2
2/
2,1
2
1
2
1
1
n
u
n
ww
u
n
u
w
n
u
p
.
Для бесповторной выборки аналогично получаем следующие границы интервальной оценки
()
θ+θ
−
±θ+
θ+
=
α
α
α
α
2
2/
2/
2
2/
2
2/
2,1
2
1
2
1
1
n
u
n
ww
u
n
u
w
n
u
p
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
