Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

22 αα
σ
+≤≤
σ
− u
n
Xau
n
X ,
которое и определяет искомый доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной с.в. при
известной дисперсии
2
σ .
Рассмотрим гораздо более важный для практики случай, когда дисперсия неизвестна.
Справедлива теорема.
Теорема 3.2. Пусть с.в.
(
)
2
,~ σaNX , и задана выборка ее значений x
1
, x
2
, …, x
n
, тогда
)1(~)1(
2
2
2
−χ
σ
− n
S
n ,
где
2
S – несмещенная оценка дисперсии с.в.
X
по этой выборке.
Поскольку
()
2
2
2
2
)1(
σ
−
=
σ
−
∑
Xx
S
n
i
,
то для с.в.
q имеем
()
()
1
1
1
1,0
)(
1
1
)(
)(
1
1
)()(
2
2
1
2
1
2
−χ
−
=
σ
−
−
−
σ
=
−
−
−
=
−
=
∑∑
==
n
n
N
Xx
n
aX
n
Xx
n
aXn
S
aXn
q
n
i
i
n
i
i
,
т.е.
(
)
1~
−
ntq .
Отсюда получаем, что с вероятностью р = 1 – α выполняется неравенство
() ()
1
)(
1 −≤
−
≤−− nt
S
aXn
nt
,
где
)1(
2
−
α
nt
– табличное значение двухсторонней критической границы уровня значимости α распределения Стьюдента с
(n-1) степенями свободы. Или, с той же вероятностью, неравенство
n
S
ntXa
n
S
ntX )1()1(
22
−+≤≤−−
αα
,
которое и определяет искомый доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной с.в. при
неизвестной дисперсии.
Отметим, что тот же интервал можно выразить через формулу
1
~
)1(
1
~
)1(
22
−
−+≤≤
−
−−
αα
n
S
ntXa
n
S
ntX
.
Все полученные доверительные интервалы строились в предположении, что X имеет нормальное распределение. В этом
случае
X
имеет в точности нормальное распределение, что и является, в действительности, единственным необходимым
условием корректности всех выкладок. Однако и при любом распределении X при n → ∞,
X
будет асимптотически нор-
мальной с.в., в соответствии с центральной предельной теоремой. Эта близость, разумеется, зависит от объема выборки n, но
можно сказать, что уже при n > 5 ÷ 10 ее можно считать достаточной.
Пример. Производитель шин заинтересован в получении оценки средней износоустойчивости шин одной особой модели.
Над 10 случайно выбранными шинами произвели специальные испытания, оказалось, что средняя длина пробега
X
= 22 500
миль, при стандартном отклонении
~
S = 3000 миль. Найдем 95 и 99 %-ные доверительные интервалы для М(х) = а,
X
– длина
пробега.
Решение. По таблицам находим t
0,025
(10 – 1) = 2,26; t
0,005
(9) = 3,25; тогда с вероятностью:
–
р = 0,95 износоустойчивости будет лежать в пределах
226050022
9
3000
26,250022 ±=± миль,
отклонение от
X
при этом составляет ± 10 %;
– р = 0,99 % в пределах 22
500 ± 3250, отклонение ± 14 %.
Практически считается, что чем меньше размах доверительного интервала, тем оценка достовернее. В разных случаях
считается по-разному, но обычно исходят из того, что при размахе до 10 % от значения
X
полученная информация доста-
точно точно отражает реальную ситуацию. При размахе более 20 – 30 % достоверность прогноза мала. Очевидно, уменьшить
размах интервала можно увеличив объем выборки.
n

Страницы