Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис 3.3.
3.7. Понятие доверительного интервала
Как уже говорилось, конкретное значение оценки некоторого параметра, рассчитанное по числовым данным конкрет-
ной выборки, называют точечной оценкой данного параметра.
Поскольку у нас нет информации о точности этих оценок, то на практике конкретные управленческие решения, вырабо-
танные на основе сведений о значениях точечных оценок, не являются достаточно обоснованными. То есть, пока мы не ус-
тановили меры близости между теоретическим значением интересующего нас параметра и его точечной оценкой, невоз-
можно говорить о допустимости практического использования последней.
Поэтому большую важность в теории статистического оценивания имеет следующее понятие.
Определение 3.18. Доверительным интервалом уровня значимости α некоторого параметра γ называется любой интервал
[]
1
, Rba ∈ , такой, что
[
]
{
}
α
−
=
∈
γ
1, baP .
Величину α−=1p при этом называют доверительной вероятностью или уровнем доверия.
Иначе говоря, доверительный интервал – это интервал, в котором с заданной (желаемой) вероятностью содержится тео-
ретическое значение оцениваемого параметра. Обычно строят доверительные интервалы при α = 0,1 или, чаще всего, при α
= 0,05, или, в особо ответственных случаях, при α = 0,01.
Доверительные интервалы часто называют интервальными оценками данного параметра.
Ясно, что доверительный интервал уже несет информацию о мере точности наших знаний об истинном значении пара-
метра. Именно эта информация и может действительно служить основанием для тех или иных конкретных практических
выводов.
3.8. Доверительный интервал для математического ожидания
нормальной с.в.
Рассмотрим задачу построения интервальной оценки для математического ожидания нормально распределенной с.в.
()
2
,~ σaNX .
Во-первых, отметим, что для выборочного среднего
()
,
)(1
a
n
XMn
X
n
MXM
n
i
==
=
∑
()
()
n
XD
n
X
n
DXD
n
i
n
i
2
2
11 σ
==
=
∑∑
,
т.е.
σ
n
aNX
2
,~ .
Тогда, из свойств математического ожидания и дисперсии, получаем
()
1,0~
)(
N
aXn
σ
−
– стандартная гауссовская с.в.
И если u
α/2
– двухсторонняя критическая граница уровня значимости α стандартного гауссовского распределения, то с ве-
роятностью p = 1 – α выполняется неравенство
2/2/
)(
αα
≤
σ
−
≤− u
aXn
u
.
Отсюда с той же вероятностью выполняется неравенство

Страницы