Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
()
2
,~
XX
aNX σ ,
(
)
2
,~
YY
aNY σ – независимые с.в., и имеются выборки их значений
n
xxX ,,:
1
… ;
m
yyY ,,:
1
…
.
Рассмотрим гипотезу
22
0
:
YX
H σ=σ .
Следует отметить, что это сложная гипотеза, однако, ее легко можно привести к эквивалентной простой
1:
0
=
zH ,
где
2
2
Y
X
z
σ
σ
=
– можно считать некоторым параметром распределения этих с.в.
Рассмотрим опять два случая:
1.
YX
aa , – известны. Тогда наилучшими оценками дисперсий являются
∑
−=
n
XiX
ax
n
S
22
)(
1
и
∑
−=
m
YiY
ay
m
S
22
)(
1
.
И если верна нулевая гипотеза, т.е. если
222
σ=σ=σ
YX
,то выполняется
χ
χ
=
σ
σ
==
m
n
F
m
m
n
n
S
m
m
S
n
n
S
S
F
Y
X
Y
X
~
)(
1
)(
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
.
Таким образом с.в. F имеет распределение Фишера с указанным числом степеней свободы. Именно F является критерием
при проверке этой гипотезы. Если при расчетах всегда брать
дисперсияменьшая
дисперсиябольшая
=
F ,
то можно ограничиться рассмотрением лишь односторонней альтернативной гипотезы
22
1
:
YX
H σ>σ , для которой критиче-
ская область уровня значимости α определяется неравенством
>
α
m
n
FFQ
расч
: .
2.
YX
aa , – неизвестны, рассуждения совершенно аналогичны. Наилучшими оценками дисперсий являются
∑
−
−
=
n
iX
Xx
n
S
22
)(
1
1
и
∑
−
−
=
m
iY
Yy
m
S
22
)(
1
1
.
И если верна нулевая гипотеза, в силу теоремы 3.2, выполняется
−
−
−χ
−
−χ
−
=
σ
−
−
σ
−
−
==
1
1
~
)1(
1
1
)1(
1
1
)1(
)1(
1
)1(
)1(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
m
n
F
m
m
n
n
S
m
m
S
n
n
S
S
F
Y
X
Y
X
.
При расчетах берут
дисперсияменьшая
дисперсиябольшая
=F
,
тогда односторонняя критическая область уровня значимости α определяется неравенством
−
−
>
α
1
1
:
расч
m
n
FFQ
.
Если выборки не из нормальных совокупностей, то при достаточно больших m, n (m, n ≥ 20 ÷ 30) рассматриваемый кри-
терий также считается применимым.
Пример. В университете проведен анализ успеваемости среди студентов и студенток за последние 25 лет. С.в. X и Y – соот-
ветственно их суммарный балл за время учебы в эти годы. Получены следующие результаты:
.150;420;300;400
22
====
YX
SYSX
Определить, есть ли основания считать, что разброс оценок у студентов больше, чем у студенток. Принять уровень зна-
чимости проверки гипотезы 05,0=α .
Решение. Находим расчетное значение критерия
2
150
300
расч
==F .

Страницы