Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Критическая точка распределения Фишера 98,1)24,24(
05,0крит
=
=
FF . Поскольку
критрасч
FF > , нулевую гипотезу следует
отклонить, т.е. действительно, разброс оценок у студентов в данном университете больше.
4.4. Проверка гипотезы о равенстве средних
Пусть
()
2
,~
XX
aNX σ ,
(
)
2
,~
YY
aNY σ – независимые с.в., и имеются выборки их значений
n
xxX ,,:
1
… ;
m
yyY ,,:
1
…
.
Рассмотрим гипотезу
YX
aaH =:
0
.
Формально это сложная гипотеза, так как ей соответствует целое множество точек
а
X
= а
Y
= а, ∀ а ∈ R
1
,
однако, ее легко можно привести к эквивалентной простой
0:
0
=zH
,
где
YX
aaz −= .
Рассмотрим два случая:
1.
22
,
YX
σσ – известны. Тогда, как мы знаем, имеет место
σ
n
aNX
X
X
2
,~ ,
σ
m
aNY
Y
Y
2
,~ ,
и, следовательно,
σ
+
σ
−−
mn
aaNYX
YX
YX
22
,~ .
Если справедлива нулевая гипотеза, то
)1,0(~
22
N
mn
YX
U
YX
σ
+
σ
−
=
.
Именно величина U , таким образом, является критерием при проверке этой гипотезы, а его теоретическим распределе-
нием – стандартное гауссовское распределение. Тогда двухсторонняя критическая область с уровнем значимости α имеет
вид
22
,:
αα
>−< uUuUQ
.
На практике рассматриваемый критерий считается применимым не только тогда, когда теоретические дисперсии дейст-
вительно известны, но и если объем выборок достаточно велик (порядка 50 и более наблюдений), тогда в качестве теорети-
ческих значений просто принимают их точечные оценки, так как они будут уже достаточно точны;
2.
22
,
YX
σσ – неизвестны, но равны. Если дисперсии действительно равны, то ясно, что наилучшая оценка соответст-
вующей величины
2
σ должна рассчитываться исходя из совокупной выборки по формуле
2
)1()1(
22
2
−+
−+−
=
nm
SmSn
S
YX
.
Из теоремы 3.2 следует, что
()()
2~2
2
2
2
−+χ
σ
−+ mn
S
mn .
А тогда
() ( )
()
()
=
+
−+−+−
−
=
mn
mn
nmSmSn
YX
t
yx
2/11
22
()
()
()
()
()
)2(~
2
2
1
1,0
2
2
1
2
2
2
22
−+
−+χ
−+
=
σ
−+
−+
σ
+
σ
−
= mnt
nm
nm
N
S
nm
nm
mn
YX
.
Расчетной статистикой проверки гипотезы в данном случае является
t
, а ее теоретическим распределением – распреде-
ление Стьюдента с
)2( −+ mn степенями свободы.
Отсюда получаем, например, одностороннюю критическую область с уровнем значимости α
)2(:
−
+
>
α
nmttQ ,

Страницы