Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

−−=
−=
=
2
3
1
32
3
8
5
44
195
261070
5200
x
x
x
xx
x
⇒
=
40
30
20
3
2
1
x
x
x
.
Результат совпадает с предыдущим.
1.12. Множество решений СЛАУ
Теперь можно сформулировать общие результаты, касающиеся систем любой размерности, а не только с квадратной
невырожденной матрицей. Для этого понадобятся некоторые вспомогательные понятия.
Определение 1.22. Минором данной матрицы называется определитель любой ее подматрицы, получаемый вычерки-
ванием некоторого (быть может, нулевого) количества ее строк и столбцов. Порядок соответствующей подматрицы называ-
ют порядком этого минора.
Определение 1.23. В матрице A
mn
минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры поряд-
ка r + 1 равны нулю, или их не может быть (r = n или r = m). Столбцы и строки подматрицы, соответствующей базисному
минору, называют базисными.
Определение 1.24. Рангом матрицы A
mn
называют порядок базисного минора. Используют обозначение rank(A).
Теорема 1.5. Пусть имеется СЛАУ
bAx
=
, (1.4)
и ее матрица А имеет размерность m × n, тогда:
1.
Если ранг q = rank(A
*
) расширенной матрицы системы (1.4) больше ранга r = rank(A) матрицы системы (что может быть
только на единицу), то система (1.4) не имеет ни одного решения, ее уравнения противоречивы.
2.
Если q = r = n, то система имеет единственное решение.
3.
Если q = r < n, то система имеет бесконечное множество решений.
Поясним сформулированные в теореме утверждения:
1. В этом случае, то есть когда q = r+ 1, какова бы не была размерность матрицы системы, с помощью элементарных
преобразований уравнений ее можно привести к виду
()
()
()
=
=
=
+++=+++
+++=+++
+++=+++
+
++
++
++
,00
;00
;0
;
;
;
1
112211
221122222121
111111212111
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LLLLLLLLL
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LLLLLLLLL
LLLLLLLLL
r
rnrnrrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
b
bxaxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
где переменные
n
xxx ...,,,
21
переставлены так, чтобы
r
xxx ...,,,
21
соответствовали базисным столбцам. Поскольку, в соответ-
ствии с условием, имеет место
0
1
≠
+r
b , то ясно, что преобразованная система не может иметь решений.
2. Если r = n, то с помощью элементарных преобразований уравнений, систему (1.4) можно привести к виду
=
=
=+++
=+++
=+++
,00
;00
;
;
;
2211
22222121
11212111
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LLLLLLLL
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LLLLLLLL
LLLLLLLL
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
в котором система первых n уравнений имеет единственное решение, а значит и вся исходная система целиком.
3. Если r < n, то систему (1.4) можно привести к виду

Страницы