Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=++
=++
=++
310 3 3 5
560 8 4 6
3902 5 8
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Решение. Матрица системы имеет вид
А =
335
846
258
,
обратная ей была найдена в примере п. 1.6. Тогда
x =
−
−
−−
5
1
10
1
5
1
5
26
5
7
5
11
5
16
10
9
5
6
310
560
390
=
40
30
20
.
Посредством проверки несложно убедиться в правильности результата.
Матричный способ, хотя и экономичнее метода Крамера, также является достаточно трудоемким. Иногда бывает необ-
ходимо решить сразу несколько систем уравнений, с одинаковой матрицей и различными правыми частями. В таких ситуа-
циях матричный способ наиболее выгоден.
1.11. Метод Гаусса
Наиболее экономичным и распространенным на практике методом решения систем является метод Гаусса. Введем сле-
дующее понятие.
Определение 1.20. Элементарным преобразованием уравнений системы будем называть действие, заключающееся в
прибавлении к некоторому уравнению этой системы любого другого ее уравнения, быть может, умноженного на некоторое
число γ. Прибавляемое уравнение при этом не изменяется.
Метод Гаусса основан на следующем факте.
Теорема 1.4. При элементарных преобразованиях, множество решений системы не изменяется.
Доказательство. Выделим в некоторой СЛАУ любые два уравнения
=+++
=+++
.
;
;
2211
2211
LLLLLLLLLL
L
LLLLLLLLLL
L
LLLLLLLLLL
bxbxbxb
axaxaxa
nn
nn
Прибавив к первому из них второе, умноженное на γ, получим систему
()( ) ( )
=+++
+=++++++
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
;
;γγγγ
2211
222111
bxbxbxb
baxbaxbaxba
nn
nnn
Пусть x
1
, x
2
, ..., x
n
– некоторое решение первой системы. Но из простых арифметических соображений, не сложно по-
нять, что те же числа являются и решением второй, и наоборот, то есть теорема верна.
Важно заметить, что хотя раньше рассматривался случай только единственного решения, эта теорема носит более об-
щий характер. Каким бы не было множество решений исходной системы (бесконечным, или единственное решение, или ни
одного), после преобразований оно останется тем же.
Метод Гаусса – это итерационный (шаговый) алгоритм:
1)
на первом шаге которого с помощью элементарных преобразований уравнений системы добиваются того, чтобы все
коэффициенты при x
1
во всех уравнениях, стоящих ниже первого, стали бы равны нулю;
2) на втором – чтобы при x
2
во всех, стоящих ниже второго;
3) на i-ом – чтобы при x
i
во всех, стоящих ниже i-го;

Страницы