Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=+++
=+++
=+++
,...
.................................................
;...
;...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(1.2)
где
njmiba
iij
,1,,1,, == – заданные числа, коэффициенты системы, называется системой m линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x
1
, x
2
, ..., x
n
.
Определение 1.18. Любая упорядоченная совокупность чисел
x
1
, x
2
, ..., x
n
, при подстановке которых в систему (1.2) получаются верные тождества, называется решением этой системы.
СЛАУ встречаются в математических моделях очень многих процессов и объектов, особенно технических и экономи-
ческих. Пример одной такой очень важной экономической модели будет рассмотрен в теме 2.
В качестве простейшего примера использования СЛАУ для моделирования экономических процессов рассмотрим сле-
дующую задачу, которая относится к общему типу задач экономического содержания, называемых задачами оптимального
распределения производственных ресурсов.
Пример. Для изготовления трех видов изделий А, В и C предприятие использует три вида станочного оборудования.
Нормо-затраты станко-часов каждого вида на обработку единицы изделия А, В или С, цена одного изделия, а также общее
имеющееся количество станко-часов приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Нормы затрат станко-часов
на одно изделие
Вид
оборудования
A B C
Общее количество
станко-часов
Фрезерное 8 5 2 390
Токарное 6 4 8 560
Шлифовальное 5 3 3 310
Составить план производства изделий, при котором все ресурсы будут полностью использованы.
Решение. Постановка вопроса в данной задаче является несколько искусственной, но сейчас важнее проиллюстрировать
применение СЛАУ.
Составим математическую модель задачи. Обозначим планируемое к выпуску количество изделий вида А через x
1
, из-
делий В – через х
2
, изделий C – через x
3
. Ясно, что искомые переменные должны удовлетворять следующей системе ра-
венств:
=++
=++
=++
.310 3 3 5
;560 8 4 6
;3902 5 8
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Осталось найти решение этой системы, что будет сделано позже.
Коэффициенты левой части системы уравнений (1.2) можно записать в виде матрицы
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.....
....................
.....
.....
21
22221
11211
,
которую так и называют – матрицей системы. Числа b
i
, стоящие в правых частях уравнений, образуют вектор
=
m
b
b
b
M
1
,
называемый столбцом правой части (системы), или вектором свободных членов.
Определение 1.19. Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.
Теперь, если ввести обозначение для вектора искомых неизвестных
=
n
x
x
x
M
1
,

Страницы