Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

то систему (1.2) можно записать в гораздо более компактной, так называемой, матричной форме:
bxA
=
.
В общем случае СЛАУ может не иметь ни одного решения, иметь единственное решение или бесконечное множество
решений. По ряду причин, наиболее важным является случай единственного решения. Укажем уже сейчас, что он имеет ме-
сто тогда и только тогда, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных и матрица системы не вырожденна, то есть
ее определитель не равен нулю. Рассмотрим несколько классических методов, позволяющих находить это единственное ре-
шение СЛАУ.
1.9. Метод Крамера
Теорема 1.3. Система n линейных уравнений c n переменными и невырожденной матрицей имеет единственное реше-
ние, которое можно найти по формулам:
x
i
= ∆
i
/ ∆,
,,1 ni =
где ∆ – детерминант матрицы А системы; ∆
i
– определитель матрицы, полученной из матрицы системы А заменой ее i-го
столбца столбцом правой части этой системы.
Пример. Решить методом Крамера систему из предыдущего примера
=++
=++
=++
.310 3 3 5
;560 8 4 6
;3902 5 8
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Решение. Матрица системы и вспомогательные матрицы имеют вид
А=
335
846
258
, А
1
=
33310
84560
25390
, А
2
=
33105
85606
23908
, А
3
=
31035
56046
39058
,
их определители соответственно равны
∆ = 10; ∆
1
= 200; ∆
2
= 300; ∆
3
= 400;
тогда по формулам Крамера имеем
.40;30;20
321
=
=
=
xxx
То есть для того чтобы полностью израсходовать (задействовать) все ресурсы, необходимо произвести 20 изделий вида A, 30
изделий вида B,
40 изделий вида C. Подставив эти числа в уравнения, убеждаемся в правильности решения. Вообще, всегда, когда возможно, сле-
дует делать проверку.
Достоинством метода Крамера является простота формул, которые обычно легко запоминаются. Недостатком – большое
количество необходимых вычислений, что особенно проявляется при большой размерности систем. Практически системы по-
рядка выше третьего этим методом не решают.
1.10. Матричный способ
Запишем СЛАУ в матричной форме:
A x = b, (1.3)
где A – матрица системы; x – вектор неизвестных переменных; b – столбец свободных членов.
Мы уже знаем, что, если А квадратная невырожденная матрица, то можно найти обратную ей А
–1
. Тогда, умножив сис-
тему (1.3) слева (следует не забывать, что операция умножения матриц не коммутативна, то есть в матричной алгебре всегда
важно, с какой стороны производится умножение) на А
–1
, получим:
А
–1
Аx = А
–1
b,
то есть
Еx = А
–1
b,
где Е – единичная матрица соответствующей размерности; отсюда
x = А
–1
b.
Эту формулу следует запомнить. Стоящее в ней справа произведение А
–1
b имеет размерность вектора. Тем самым най-
ден искомый вектор неизвестных x.
Пример. Решить матричным способом все ту же систему

Страницы