Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4) таким образом, после (n-1)-го шага система окажется приведенной к следующему, так называемому, верхнетре-
угольному виду
()()()() ()
=
=+
=++
=+++
−−−−−−
;
;
;
;
111111
22222
11212111
nnnn
nnnnnnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxa
bxaxaxa
MO
LLLLLLLL
LLLLLLLL
5) на последнем n-ом шаге, который часто называют обратной прогонкой, последовательно, в обратном порядке, начи-
ная с x
n
и до x
1
, рассчитывают значения искомых переменных.
Метод Гаусса является весьма экономичным методом, с точки зрения количества необходимых вычислений. И это про-
является тем ощутимей, чем выше размерность решаемой системы.
При использовании метода Гаусса необходимо учитывать, что:
1)
если на i-ом шаге коэффициент a
ii
при x
i
оказался равным нулю, то необходимо переставить местами уравнения, а
именно, поставить на место i–го уравнения одно из расположенных ниже, а именно такое, в котором коэффициент при x
i
не
равен нулю;
2)
желательно, чтобы перед i-м шагом коэффициент a
ii
при x
i
в i-ом уравнении был бы равен единице, это уменьшит
количество возникающих дробей. Для этого рекомендуется перед i-ым шагом делить i-е уравнение на a
ii
. Или иногда удается
переставить нужным образом уравнения.
Определение 1.21. Пусть имеется СЛАУ с прямоугольной матрицей размерности m × n , тогда матрица
=
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A
....
.....
....................
.....
.....
2
1
21
22221
11211
*
,
размерности m × (n + 1), называется расширенной матрицей этой системы.
Преобразования метода Гаусса будут записаны более компактно, если на каждом шаге переписывать не саму систему, а
только ее расширенную матрицу. При этом принято комментировать осуществляемые преобразования, указывая стрелочка-
ми, будучи умноженными на какие именно коэффициенты, складываются те или иные уравнения.
Пример. Для примера решим методом Гаусса предыдущую систему. Ее расширенная матрица имеет вид
=
∗
310
520
390
335
846
258
A
Стрелочки справа от нее поясняют, какие именно действия следует осуществить на первом шаге.
Шаг 1. После первого шага получаем матрицу, где справа опять стре-лочками указаны необходимые на следующем ша-
ге действия.
−
=
∗
4
265
4
7
8
1
0
2
535
2
13
4
1
0
4
195
4
1
8
5
1
1A
Шаг 2. После второго шага получаем матрицу
.
200500
10702610
4
195
4
1
8
5
1
2
=
∗
A
Шаг 3. Теперь осталось найти решение
(1/8)
(–6)
(–5)
(1/2)

Страницы